Drehimpulserhaltung

Warum dreht sich eine Ballerina mit angezogenen Armen schneller?

Grundlagen Drehimpuls und Rotationsenergie
Der Drehimpuls errechnet sich aus: L = J ω. Er ist eine Erhaltungsgröße.
Die Rotationsenergie beträgt W = 1/2 J ω²
Das Trägheitsmoment eines Vollzylinders ist: J = 1/2 m R²
Das Trägheitsmoment einer nahezu punktförmigen Masse ist J = m r²

Versuch Drehstuhlexperiment Setzen Sie sich auf einen Drehstuhl und bringen Sie sich in Rotation. Breiten Sie nun die Arme aus und ziehen sie sie wieder an sich. Besonders eindrucksvoll ist der Effekt, wenn Sie schwere Massen dabei in der Hand halten. Aufgabe: Gehen Sie davon aus, dass Ihr Körper ein Vollzylinder der Masse 70kg mit dem Radius 20cm ist. Sie halten 2 Hanteln mit der Masse 3kg in einem Abstand von bis zu 60cm von sich. Die Winkelgeschwindigkeit bei angezogenen Armen beträgt ω=0,3 Hz. a) Berechnen Sie Das Trägheitsmoment bei angezogenen und ausgestreckten Armen. b) Berechnen Sie aus der Drehimpulserhaltung die Winkelgeschwindigkeit bei ausgestreckten Armen. c) Bestimmen Sie in beiden Fällen die Rotationsenergie. d) Erklären Sie, warum nicht gegen den Energieerhaltungssatz verstoßen wurde ! e) Beschreiben und erläutern Sie die Bewegung eines Turmspringers beim mehrfachen Salto oder eines Tänzers bei der mehrfachen Piruette. Gehen Sie insbesondere auf die Veränderung der Drehgeschwindigkeit ein und erklären Sie sie.

Weitere Aufgaben:
a) Wie groß ist der Drehimpuls eines Menschen (m = 70kg) am Äquator?
b) Wie groß ist der Drehimpuls des Mondes bei seiner Rotation um die Erde? Vergleichen Sie mit dem Drehimpuls der Erde aufgrund ihrer Eigenrotation bzw. ihrer Rotation um die Sonne.
c) Ein Vollzylinder mit dem Radius r und der Masse m rolle auf einer Ebene mit der Geschwindigkeit v. Erstellen Sie eine Allgemeine Gleichung für den Drehimpuls, die nur noch von m, r und v abhängt.

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