Rollende Zylinder und Kugeln

Warum ist ein Vollzylinder schneller als ein Hohlzylinder?

Grundlagen: Trägheitsmoment und Energie
Für die Trägheitsmomente gilt:

Form	Trägheitsmoment
dünnwandiger Hohlzylinder mit Radius R und Drehachse entlang der Zylindermitte	J = m R2
Vollzylinder mit Radius R und Drehachse entlang der Zylindermitte	J = $\frac{1}{2}$m R2
Vollkugel mit Radius R	J = $\frac{2}{5}$m R2
dünnwandige Hohlkugel mit Radius R	J = $\frac{2}{3}$m R2

Beim Rollen wandelt sich die Energie der Lage sowohl in Translations- als auch in Rotationsenergie um. Es gilt also:
m g h = 1/2 m v² + 1/2 J ω²

Aufgabe: Wettrennen der Formen Auf einer reibungsfreien schiefen Ebene werden vier Körper, ein dünnwandiger Hohlzylinder, ein Vollzylinder, eine Vollkugel und eine dünnwandige Hohlkugel gleichzeitig losgelassen. Alle Körper haben den Radius R=5cm und die Masse m=2kg. Der Startpunkt befindet sich in 12cm Höhe, die Bahn ist 2,5m lang. a) Fertigen Sie für einen Körper eine Skizze mit allen auftretenden Kräften an. Begründen Sie, warum eine Drehmoment auftritt. b) Geben Sie eine begründete Vermutung an, in welcher Reihenfolge die Körper unten auftreffen werden. c) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten der verschiedenen Körper am Ende der Bahn. Hinweis: ω kann mit Hilfe einer geeigneten Gleichung durch v ersetzt werden und umgekehrt. d) Berechnen Sie die prozentuale Verteilung der beiden Bewegungsenergien am Bahnende für die verschiedenen Körper. e) Berechnen Sie die Abrollzeiten für die einzelnen Körper. Hinweis: Nutzen sie die beiden Gleichungen der einfachen beschleunigten Bewegung aus. f) Berechnen Sie die Beschleunigungen und Winkelbeschleunigungen sowie die wirksame Hangabtriebskraft und das Drehmoment.

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