Aufgaben

Untersuche die Bewegung eines einzelnen Elektrons in dieser Simulation. Gehe insbesondere auf folgende Punkte ein:
Hinweis: Die dargestellte Spur des Elektrons ist eine Art "Stroboskopaufnahme", d.h. die Position des Elektrons wird immer wieder gezeichnet, wobei der zeitliche Abstand zwischen den Aufnahmen konstant ist. Je größer der Abstand ist, desto schneller ist das Teilchen.

Wie beeinflussen elektrisches und magnetisches Feld die Bahn des Teilchens?
Welchen Einfluss haben die Felder auf die Gesamtgeschwindigkeit?
Welchen Einfluss haben die Felder auf die Geschwindigkeitskomponenten in x- und y-Richtung?

Stelle eine minimale Beschleunigungsspannung und ein maximales Magnetfeld ein. Untersuche nun die Bahn des Teilchens. Es treten besonders interessante Bahnen auf.

Beschreibe die Form der Bahnen
Gehe besonders auf die Veränderung der Geschwindigkeiten (absolut und komponentenweise) ein.

Bewegung von Elektronen im elektrischen und magnetischen Feld

Hier sind einige Aufgaben zur Untersuchung der Bewegung von Elektronen in elektrischen und magnetischen Feldern.

Aufgabe 1: Elektron im homogenen elektrischen Feld

Ein Elektron (Ladung $e = - 1.6 \times 10^{- 19} C$ , Masse $m_e = 9.11 \times 10^{- 31} kg$ ) wird in einem homogenen elektrischen Feld der Stärke $E = 5 \times 10^{4} V/m$ freigesetzt.

Berechne die Beschleunigung des Elektrons.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Elektrons nach einer Zeitspanne von $t = 10^{- 9} s$ , wenn es aus der Ruhe gestartet ist?
Wie weit hat sich das Elektron nach dieser Zeit bewegt?

Aufgabe 2: Elektron im homogenen magnetischen Feld

Ein Elektron bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $v = 2 \times 10^{6} m/s$ senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld der Stärke $B = 0.1 T$ .

Berechne die Lorentzkraft, die auf das Elektron wirkt.
Bestimme den Radius der Kreisbahn, die das Elektron beschreibt.
Berechne die Zyklusfrequenz (Kreisfrequenz) der Bewegung des Elektrons.

Aufgabe 3: Elektron im gekreuzten elektrischen und magnetischen Feld

Ein Elektron bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $v = 105 m/s$ in ein Gebiet, in dem ein elektrisches Feld $E = 103 V/m$ und ein magnetisches Feld $B = 0.01 T$ senkrecht zueinander stehen.

Berechne die Kräfte, die auf das Elektron wirken.
Bestimme die Gesamtbeschleunigung des Elektrons.
Beschreibe qualitativ die Bahn des Elektrons in diesem Feld.

Aufgabe 4: Energie eines Elektrons im elektrischen und magnetischen Feld

Ein Elektron wird in einem Gebiet mit einem homogenen elektrischen Feld $E = 104 V/m$ und einem homogenen magnetischen Feld $B = 0.02 T$ freigesetzt. Das elektrische Feld wirkt in $x - Richtung$ und das magnetische Feld in $z - Richtung$ .

Berechne die kinetische Energie des Elektrons nach einer Zeit von $t = 2 \times 10^{- 8} s$ , wenn es aus der Ruhe gestartet ist.
Beschreibe die Bahnkurve des Elektrons qualitativ.
Wie beeinflussen sich die elektrischen und magnetischen Felder gegenseitig bezüglich der Bewegung des Elektrons?

Aufgabe 5: Vollständige Analyse

Erstelle für das Problem eine dieses vollständig beschreibende Differentialgleichung.
Löse diese unter verschiedenen Annahmen.

Analyse

Ablenkung im elektrischen Feld

Es entsteht eine Parabelbahn der Form

y (x) = \frac{U_{A}}{4 U_{B} d} x^{2}

Ablenkung im magnetischen Feld

Es entsteht eine Kreisbahn mit dem Radius

r = \frac{m_{e} v_{0}}{e B}

Geschwindigkeitsfilter

Das Elektron durchfliegt ein vertikales elektrisches Feld E und gleichzeitig ein quer zur Bahn und zum E-Feld stehendes Magnetfeld B. Für jede Kombination aus E und B gibt es genau eine Geschwindigkeit, bei der sich die elektrische Kraft und die Lorentzkraft aufheben.
Diese Geschwindigkeit beträgt:

v = \frac{E}{B} = \frac{U_{A}}{B d}

Kombiniertes magnetisches und elektrisches Feld - AllgemeinerFall

Anmerkung: Für die weiteren Betrachtungen gilt, dass ich mich an die in js übliche Wahl der Koordinatenachesn gehalten habe, d.h. x geht nach rechts, y nach unten und z in die Bildschirmebene hinein.

Es entsteht ein System aus drei gekoppelten Differentialgleichungen:
$m \vec{a} = q \vec{E} + q \vec{v} \otimes \vec{B} \Rightarrow (\begin{matrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \\ \ddot{z} \end{matrix}) = \frac{q}{m} (\begin{matrix} E_{x} + \dot{y} B_{z} - \dot{z} B_{y} \\ E_{y} + \dot{z} B_{x} - \dot{x} B_{z} \\ E_{z} + \dot{x} B_{y} - \dot{y} B_{x} \end{matrix})$

Vereinfachung:

Vereinfachen wir dieses System so, dass es sich auf die oben beschriebene Simulation bezieht, so gilt:

B nur in z-Richtung, also: B_x = B_y = 0 T, B_z = B
E nur in y-Richtung, also: E_x = E_z = 0 T, E_y = E
Da es keine Kraft und auch keine Geschwindigkeit in z-Richtung gibt (alles spielt sich in der x-y-Ebene ab) gilt: $\dot{z} = 0$ und $\ddot{z} = 0$

Damit erhalten wir folgende DGLs: (Die dritte entfällt natürlich, da 0=0 herauskommt...)

[\begin{matrix} m \ddot{x} = 0 + q \dot{y} B \\ m \ddot{y} = q E - q \dot{x} B \end{matrix}]

oder

[\begin{matrix} \ddot{x} = \frac{q}{m} \dot{y} B \\ \ddot{y} = \frac{q}{m} (E - \dot{x} B) \end{matrix}]

(i)

Lösung:

Durch Ableitung der ersten DGL und Einsetzen der zweiten erhalten wir:

\overset{⃛}{x} = {(\frac{q}{m})}^{2} (E B - \dot{x} B^{2})

Substituieren wir die Ableitung nach der Zeit durch v, so erhalten wir:
${\ddot{v}}_{x} = {(\frac{q}{m})}^{2} (E B - B^{2} v)$

Diese DGL hat die Lösung:
$v (t) = \frac{E}{B} + C_{1} \sin (\frac{q}{m} B \cdot t) + C_{2} \cos (\frac{q}{m} B \cdot t)$
Anmerkung: Wir brauchen keine Fallunterscheidung machen, da der Faktor B² vor v nicht negativ werden kann.

Setzen wir nun als Randbedingungen:
v(0) = v₀ ( Startgeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit nach der Teilchenquelle mit Beschleuniger) und
$\dot{v} (0) = 0$ (Keine Beschleunigung in x-Richtung zu Beginn)
erhalten wir die Konstanten C₁=0 und C₂= v₀ - E/B und damit:
$v_{x} (t) = \frac{E}{B} + (v_{0} - \frac{E}{B}) \cos (\frac{q}{m} B \cdot t)$

Spezialfälle:

Eigengeschwindigkeit

Ist v₀ die "Eigengeschwindigkeit" E/B, so vereinfacht sich die Gleichung zu v(t) = E/B, was bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit in x-Richtung nicht ändert. Setzen wir dieses Ergebnis nun in die 2. DGL bei (I) ein, so erhalten wir

\ddot{y} = (q/m) E - (q/m) \frac{E}{B} B = 0

D.h. in y-Richtung findet keine Beschleunigung statt, d.h. das Teilchen läuft gerade durch die Felder durch. Dies ist gerade der Fall des Wienschen Geschwindigkeitsfilters!

Ruhendes Teilchen

Ist v₀=0, so erhalten wir:

v_{x} (t) = \frac{E}{B} (1 - \cos (\frac{q}{m} B \cdot t))

und durch Einsetzung der Ableitung in (i.2)

\ddot{y} = \frac{q}{m} (E - B (\frac{E}{B} (1 - c o s (\frac{q}{m} B \cdot t)))) = \frac{q}{m} E \cdot c o s (\frac{q}{m} B \cdot t) \Rightarrow \dot{y} = \frac{E}{B} \cdot \sin (\frac{q}{m} B \cdot t)

Wegen v_y(0) = 0 entfällt die Integrationskonstante...
Das bedeutet:
Mit einer Kreisfrequenz von qB/m

wechselt v_x zwischen 0 und der doppelten Eigengeschwindigkeit
startet v₀ bei 0, steigt dann bis zur Eigengeschwindigkeit , sinkt dann anschließend zur negativen Eigengeschwindigkeit usw.

Durch Integration erhalten wir:

y (t) = - \frac{m}{q} \frac{E}{B^{2}} c o s (\frac{q}{m} B \cdot t) + \frac{m}{q} \frac{E}{B^{2}} = \frac{m}{q} \frac{E}{B^{2}} (1 - c o s (\frac{q}{m} B \cdot t))

x (t) = \frac{E}{B} t - \frac{m}{q} \frac{E}{B^{2}} \sin (\frac{q}{m} B \cdot t)

(Die Integrationskonstanten folgen aus y(0)=0 und x(0) = 0 ...)
Setzen wir

$\frac{m E}{q B^{2}} = A$ als Amplitude
$\frac{q}{m} B = ω$ als Eigenfrequenz und T = 2π/ω als Schwingungsdauer
$\frac{E}{B} = v_{e i g e n}$ als Eigengeschwindigkeit

so erhalten wir:

\vec{s} (t) = (\begin{matrix} v_{e i g e n} t - A \cdot s i n (ω t) \\ A (1 - c o s (ω t)) \end{matrix})

Interpretation:
Die Bahnkurve startet nach unten. Anschließend entsteht eine wellen- oder spiralförmige Bahn. Wenn...

E/B*T = 2A (horizontale Verschiebung ist gleich dem Durchmesser des sich bewegenden Kreises)
Es entsteht eine Wellenartige Bahn mit Spitzen an der oberen Seite.
E/B*T > 2A (horizontale Verschiebung ist größer als der Durchmesser des sich bewegenden Kreises)
Es entsteht eine Wellenartige Bahn, die Spitzen sind abgerundet.
E/B*T < 2A (horizontale Verschiebung ist kleiner als der Durchmesser des sich bewegenden Kreises)
Es entsteht eine spiralförmige Bahn.

allgemeiner Fall

Unter den oben genannten Randbedingungen gilt:

v_{x} (t) = \frac{E}{B} + (v_{0} - \frac{E}{B}) \cos (\frac{q}{m} B \cdot t)

Wir fassen zusammen:

E/B=v_e: Eigengeschwindigkeit
v₀-E/B = dv: Differenz zwischen Geschwindigkeit und Eigengeschwindigkeit
q/m*B=ω: Umlauffrequenz der Bahn

v_x=v_e + dv cos(ωt)
Durch Integration erhalten wir:
x(t) = v_et + dv/ω cos(ωt) + C
Mit x(0) = 0 erhalten wir C = -dv/ω, also:
x(t) = v_et + dv/ω cos(ωt) -dv/ω

Um y(t) zur erhalten nutzen wir die oben hergeleitete DGL:

\ddot{y} = \frac{q}{m} (E - v_{x} B) = \frac{q}{m} (E - B [\frac{E}{B} + d v c o s (ω t)]) = \frac{q}{m} d v c o s (ω t)

Eine erste Integration liefert:

\dot{y} = - \frac{q}{m} \frac{1}{ω} d v s i n (ω t) + C

bzw. da v_y(0) = 0 => C = 0, also

\dot{y} = - \frac{q}{m} \frac{1}{ω} d v s i n (ω t)

Eine weitere Integration liefert:

y (t) = \frac{q}{m} \frac{1}{ω^{2}} d v \cos (ω t) + C

wobei wegen y(0) = 0 =>

C = - \frac{q}{m} \frac{1}{ω^{2}} d v

und damit:

y (t) = \frac{q}{m} \frac{1}{ω^{2}} d v \cos (ω t) - \frac{q}{m} \frac{1}{ω^{2}} d v = \frac{q}{m} \frac{1}{ω^{2}} d v (\cos (ω t) - 1)

Zusammenfassung:

Wir erhalten damit folgende Bahnkurve:

\vec{x} (t) = (\begin{matrix} v_{e} t + \frac{d v}{ω} (\cos (ω t) - 1) \\ \frac{q}{m} \frac{d v}{ω^{2}} (\cos (ω t) - 1) \end{matrix})

d.h. wir erhalten immer eine Spiralbahn, die sich mit v_enach rechts bewegt.
Ist v₀ < v_e, also dv<0, bewegt sich die Spirale im oberen Teil, andernfalls im unteren.
Die Amplitude der Spirale in y-Richtung hängt von der Ladung, der Masse, dem Magnetfeld und der Differenzgeschwindigkeit ab:

A = \frac{q}{m} \frac{d v}{ω^{2}} = \frac{q}{m} \frac{d v}{{(\frac{q}{m} B)}^{2}} = \frac{m}{q} \frac{d v}{B^{2}}