Einfluss elektrischer und magnetischer Felder auf die Bahn des Elektrons

Elektrisches Feld: Ein elektrisches Feld übt eine Kraft auf das Elektron aus, die seine Bewegung in Richtung des Feldes (bei positivem Feld) oder entgegen dem Feld (bei negativem Feld) beschleunigt oder verlangsamt. Diese Kraft führt zu einer Änderung der Geschwindigkeit des Elektrons entlang der Feldrichtung.

Magnetisches Feld: Ein magnetisches Feld wirkt auf ein bewegtes Elektron und erzeugt eine Lorentzkraft, die senkrecht zur Bewegungsrichtung und zum Magnetfeld steht. Dies führt zu einer Ablenkung des Elektrons auf eine kreisförmige oder spiralförmige Bahn, abhängig von der Anfangsgeschwindigkeit des Elektrons und der Stärke des Magnetfeldes.

Einfluss der Felder auf die Gesamtgeschwindigkeit

Das elektrische Feld erhöht die Gesamtgeschwindigkeit des Elektrons, indem es Arbeit an dem Elektron verrichtet und seine kinetische Energie erhöht. Die Wirkung des magnetischen Feldes auf die Gesamtgeschwindigkeit ist indirekt; es ändert die Richtung der Bewegung des Elektrons, nicht aber die Geschwindigkeit, da die Lorentzkraft keine Arbeit verrichtet.

Einfluss der Felder auf die Geschwindigkeitskomponenten

Elektrisches Feld: Das elektrische Feld verändert die Geschwindigkeitskomponente in Feldrichtung. Wenn das Feld in x-Richtung wirkt, ändert sich die Geschwindigkeit in x-Richtung, während die y-Komponente unverändert bleibt.

Magnetisches Feld: Das magnetische Feld beeinflusst die Geschwindigkeitskomponenten sowohl in x- als auch in y-Richtung durch die Lorentzkraft, die eine kontinuierliche Umlenkung der Bewegung verursacht. Dies führt zu einer zyklischen Änderung der Geschwindigkeitskomponenten.

Minimale Beschleunigungsspannung und maximales Magnetfeld

Bei minimaler Beschleunigungsspannung und maximalem Magnetfeld treten besonders interessante Bahnen auf.

Form der Bahnen

Die Bahnen des Elektrons bei minimaler Beschleunigungsspannung und maximalem Magnetfeld sind typischerweise spiralförmig oder zirkular. Dies ist darauf zurückzuführen, dass das Magnetfeld eine starke Lorentzkraft ausübt, die das Elektron auf eine enge kreisförmige Bahn zwingt, während das elektrische Feld eine geringe Beschleunigung bewirkt.

Veränderung der Geschwindigkeiten

Absolut: Die Gesamtgeschwindigkeit des Elektrons bleibt relativ konstant, da das magnetische Feld keine Arbeit verrichtet und die Beschleunigung durch das elektrische Feld minimal ist.

Komponentenweise: Die Geschwindigkeitskomponenten in x- und y-Richtung ändern sich kontinuierlich aufgrund der zyklischen Bewegung im Magnetfeld. Dies führt zu einer periodischen Änderung der Geschwindigkeitsvektoren, während die Geschwindigkeit in z-Richtung (falls vorhanden) konstant bleibt.

Aufgabe 1: Elektron im homogenen elektrischen Feld

1. Berechnung der Beschleunigung des Elektrons

Die Beschleunigung ($a$) des Elektrons im elektrischen Feld wird durch die Kraft berechnet, die auf das Elektron wirkt: $$F=e\times E$$ Die Beschleunigung ist dann: $$a=\frac{F}{\mathrm{m\_e}}=\frac{e\times E}{\mathrm{m\_e}}$$ Gegeben:

• Elektrisches Feld: $E=\; 5\; \times \; 104\mathrm{V/m}$
• Elementarladung: $e=\; -1.6\; \times \; 10-19C$
• Masse des Elektrons: $\mathrm{m\_e}=\; 9.11\; \times \; 10-31\mathrm{kg}$

2. Geschwindigkeit des Elektrons nach 10^-9 s

Die Geschwindigkeit ($v$) nach einer Zeitspanne $t=\; 10-9s$ kann durch die Beschleunigung berechnet werden: $$v=a\times t$$ Gegeben:

• Beschleunigung: $a=\; -8.78\; \times \; 1015\mathrm{m/s^2}$
• Zeit: $t=\; 10-9s$

3. Weg des Elektrons nach dieser Zeit

Der zurückgelegte Weg ($s$) des Elektrons nach einer Zeitspanne $t=\; 10-9s$ kann durch die Beschleunigung berechnet werden: $$s=\frac{1}{2}a\times t^2$$ Gegeben:

• Beschleunigung: $a=\; -8.78\; \times \; 1015\mathrm{m/s^2}$
• Zeit: $t=\; 10-9s$

Aufgabe 2: Elektron im homogenen magnetischen Feld

1. Berechnung der Lorentzkraft

Die Lorentzkraft ($F$) auf ein Elektron, das sich senkrecht zu einem Magnetfeld bewegt, wird berechnet durch: $$F=e\times v\times B$$ Gegeben:

• Geschwindigkeit: $v=\; 2\; \times \; 106\mathrm{m/s}$
• Magnetfeld: $B=\; 0.1T$

2. Bestimmung des Radius der Kreisbahn

Der Radius ($r$) der Kreisbahn des Elektrons wird durch die Lorentzkraft und die Zentripetalkraft berechnet: $$\frac{\mathrm{mv^2}}{r}=e\times v\times B$$ $$r=\frac{\mathrm{mv}}{e\times B}$$ Gegeben:

• Masse des Elektrons: $m=\; 9.11\; \times \; 10-31\mathrm{kg}$

3. Berechnung der Zyklusfrequenz (Kreisfrequenz)

Die Zyklusfrequenz ($\omega$) der Bewegung des Elektrons wird berechnet durch: $$\omega =\frac{v}{r}$$ $$\omega =\frac{2\times {10}^6}{1.14\times {10}^{-4}}$$ $$\omega =1.75\times {10}^{10}rad/s$$

Aufgabe 3: Elektron im gekreuzten elektrischen und magnetischen Feld

1. Berechnung der Kräfte

Elektrische Kraft: $$\mathrm{F\_e}=e\times E$$ Magnetische Kraft: $$\mathrm{F\_m}=e\times v\times B$$ Gegeben:

• Geschwindigkeit: $v=\; 105\mathrm{m/s}$
• Elektrisches Feld: $E=\; 103\mathrm{V/m}$
• Magnetfeld: $B=\; 0.01T$

2. Gesamtbeschleunigung des Elektrons

Die Gesamtbeschleunigung ($a$) des Elektrons wird berechnet durch: $$\mathrm{F\_\{gesamt\}}=\mathrm{F\_e}+\mathrm{F\_m}$$ $$a=\frac{\mathrm{F\_\{gesamt\}}}{\mathrm{m\_e}}$$ $$\mathrm{F\_\{gesamt\}}=-1.6\times 10-16N+-1.6\times 10-16N=-3.2\times 10-16N$$ $$a=\frac{-3.2\times 10-16N}{9.11\times {10}^{-31}}$$ $$a=-3.51\times {10}^{14}m/s^2$$

3. Qualitative Beschreibung der Bahn des Elektrons

In einem gekreuzten elektrischen und magnetischen Feld wird die Bahn des Elektrons durch die Kombination der Kräfte bestimmt. Das Elektron wird durch das elektrische Feld in eine Richtung beschleunigt, während das magnetische Feld eine Lorentzkraft ausübt, die senkrecht zur Bewegungsrichtung und zum Magnetfeld steht. Dies führt zu einer spiraligen Bahn, bei der die Bewegung des Elektrons sowohl durch die elektrische als auch durch die magnetische Kraft beeinflusst wird.

Aufgabe 4: Energie eines Elektrons im elektrischen und magnetischen Feld

1. Berechnung der kinetischen Energie

Die kinetische Energie ($K$) des Elektrons nach einer Zeit von $t=\; 2\; \times \; 10-8s$ wird durch die Beschleunigung im elektrischen Feld berechnet: $$\mathrm{F\_e}=e\times E$$ $$a=\frac{e\times E}{\mathrm{m\_e}}$$ Gegeben:

• Elektrisches Feld: $E=\; 104\mathrm{V/m}$

2. Beschreibung der Bahnkurve des Elektrons

Die Bahnkurve des Elektrons in einem homogenen elektrischen und magnetischen Feld ist eine Spiralbahn. Das Elektron wird durch das elektrische Feld in x-Richtung beschleunigt und gleichzeitig durch das magnetische Feld in eine Kreisbahn gezwungen. Dies führt zu einer Spirale, deren Achse entlang der Richtung des elektrischen Feldes liegt.

3. Einfluss der Felder auf die Bewegung des Elektrons

Das elektrische Feld beschleunigt das Elektron in x-Richtung, während das magnetische Feld eine Lorentzkraft ausübt, die senkrecht zur Bewegungsrichtung und zum Magnetfeld steht. Diese Kräfte beeinflussen sich gegenseitig, indem sie die Bahn des Elektrons in eine spiralförmige Kurve zwingen. Die Lorentzkraft sorgt dafür, dass das Elektron in eine Kreisbahn abgelenkt wird, während das elektrische Feld die Geschwindigkeit des Elektrons in Feldrichtung erhöht.