e-226 energieinhalt kondensator

Grundlagen Gleichungen zur Kapazität und zum Energieinhalt

Für die Kapazität eines Kondensators gilt:
C = Q/U und C = ε₀ε_rA/d
Um eine Ladung über eine Potentialbarriere (eine Spannung) zu bewegen ist eine Energie notwendig. Es gilt:
W = q U
Der Energieiinhalt eines geladenen Kondensators ist:
W_C=1/2 C U²

Herleitung der Energiegleichung
Um einen Kondensator aufzuladen muss man nach und nach Ladungen von der einen Platte zur gegenüberliegenden transportieren.
Für die erste Ladung dq ist noch keine Energie notwendig, da ja beide Platten ungeladen sind und somit kein elektrisches Feld vorherrscht.
Je mehr Ladungen übergetreten sind, desto mehr steigt aber die an dem Kondensator liegende Spannung an.
Für jede weitere Ladung gilt dann, dass mit der Ladung auch die Spannung weiter steigt:
dq = C dU
Multiplizieren wir beide Seiten mit der schon anliegenden Gesamtspannung U, so erhalten wir links die Energie dW, die zum Transport der neuen Ladungsmenge dq nötig war:
dW = dq U = C U dU
Integrieren wir auf beiden Seiten, so erhalten wir:
W = $\int_{}^{} dW$ = $\int_{}^{} CU dU$ = $\frac{1}{2} C U 2$

Die elektrische Leistung P_el wird auf zwei Arten definiert:

allgemein als geleistete Arbeit (abgegebene bzw. aufgewendete Energie) pro Zeit: P=W/t
spezifisch für die Elektrizität als das Produkt aus Spannung und Stom: P_el=U*I

Für die Ladung auf einem Kondensator gilt: Q = C U

Aufgabe 1) Grundrechenarten

An einen Kondensaor der Kapazität 5 mF wird eine Soannung von 12V angelegt.
a) Welche Energie ist im Kondensator gespeichert?
b) Wie verändert ich diese Energie, wenn man die angelegte Spannung bzw. die Kapazität verdoppelt?
c) Welche Kapazität ist notwendig, um bei 12V eine Energie von 23mJ zu speichern?
d) Mit welcher Spannung muss man den oben beschriebenen Kondensator aufladen, wenn man eine Wenrgie von 44 mJ erreichen möchte?

Aufgabe 2) Anwendungsbeispiel

Viele Fahrradleuchten haben parallel zur Leuchte einen starken Kondensator, ein sogenantes GoldCap geschaltet. In unserem Feispiel habe es eine Kapazität von 2,5F. Dieses GoldCap läd sich während des Fahrens über den Dynamo auf und speichert elektrische Energie. Bleibt das Fahrrad stehen, so kann diese gespeicherte Energie abgerufen werden, um die Fahrradleuchte auch im Stillstand weiter leuchten zu lassen.

a) Beschreiben Sie den Stromweg in der nebenstehenden Schaltung während der Dynamo in Betrieb ist (beim Fahren) und wenn er ausgeschaltet ist (Stillstand). Gehen Sie dabei auch auf die Richtung des Stroms in den beiden Zweigen der Parallelschaltung und auf die Funktion des GoldCaps in beiden Fällen ein.

b) Der Dynamo liefert eine Spannung von 8V. Welche Energie kann er damit maximal speichern? Wie viel Ladung ist auf ihm gespeichert?

c) Die Fahrradleuchte enthält eine LED der Leistung 12mW. Welcher Strom fließt mindestens beim Betrieb dieser Lampe im Fahrbetrieb?
Gleichzeitig soll aber auch das GoldCap aufgeladen werden, so dass es spätestens nach einer Minute voll aufgeladen ist. Welcher Strom muss dann insgesamt fließen?

d) Wie lang könnte man die Lampe durch die im GoldCap gespeicherte Energie weiter betreiben?

Schaltplan mit Parallelschaltung aus Lampe und Goldcap, angeschlossen an den Dynamo