Grundlagen: Zerfallsgleichung und Logarithmus
Die entscheidende Größe für die Beschreibung des radioaktiven Zerfalls ist die
Halbwertzeit. Sie gibt an, wie lang es dauert, bis die Hälfte aller
radioaktiven Atome einer Substanz zerfallen sind. Diese Zeit kann bei
verschiedenen Materialien extrem unterschiedlich sein. So hat das Isotop
Uran-235 eine Halbwertzeit von 700.000.000 Jahren, während sie bei U-237 nur
6,75 Tage und bei U-239 nur 23,5 Minuten beträgt. Es gibt sogar stark instabile
Isotope, deren Halbwertzeit nur Millisekunden beträgt.
Nach dem Verstreichen der Halbwertzeit sind also nur noch die Hälfte aller
radioaktiven Atome vorhanden, nach der doppelten Halbwertzeit also nur noch
1/4, nach drer dreifachen Halbwertzeit nur noch 1/8 usw.
Bildet man für eine beliebige Zeit den Quotienten mit der Halbwertzeit
so kann man folgende Gleichung herleiten:
mit N: verbliebene Anzahl und N0: Ausgangszahl
Logarithmus: Auflösung der Gleichung nach t
Während die Auflösung der Gleichung nach N und N0 relativ einfach
ist, benötigt man für die Auflösung nach t den Logarithmus, insbesondere das
folgende Rachengesetz:
ln(ab) = b ln(a), d.h. man kann durch Anwenden des
Logarithmus den Exponenten nach vorne ziehen.
Damit gilt:
oder
und damit
t = T1/2
Aufgabe Zerfall von Uran-237
a) Gegeben ist ein Gramm des Isotops Uran-237 mit einer Halbwertzeit von 6,75
Tagen. Berechne die verbleibende Menge nach
- 1 Sekunde
- 1 Minute
- 1 Stunde
- 1 Tag,
- 1 Woche,
- 1 Monat,
- 1 Jahr.
Gebe Dein Ergebnis sowohl in Gramm als auch in Prozent an.
b) Ein Gramm Uran-237 enthält etwa 2,5 E 21 Teilchen.
Berechne Die Anzahl der Zerfälle innerhalb einer Sekunde.
Wie verändert sich diese Aktivität mit der Zeit? Beziehe Dich auf den
Aufgabenteil a)
c) Berechne die Zeit, in der die Aktivität auf nur noch 1% abgefallen ist.