Aufgaben zum radioaktiven Zerfall


Grundlagen: Zerfallsgleichung und Logarithmus
Die entscheidende Größe für die Beschreibung des radioaktiven Zerfalls ist die Halbwertzeit. Sie gibt an, wie lang es dauert, bis die Hälfte aller radioaktiven Atome einer Substanz zerfallen sind. Diese Zeit kann bei verschiedenen Materialien extrem unterschiedlich sein. So hat das Isotop Uran-235 eine Halbwertzeit von 700.000.000 Jahren, während sie bei U-237 nur 6,75 Tage und bei U-239 nur 23,5 Minuten beträgt. Es gibt sogar stark instabile Isotope, deren Halbwertzeit nur Millisekunden beträgt.

Nach dem Verstreichen der Halbwertzeit sind also nur noch die Hälfte aller radioaktiven Atome vorhanden, nach der doppelten Halbwertzeit also nur noch 1/4, nach drer dreifachen Halbwertzeit nur noch 1/8 usw.
Bildet man für eine beliebige Zeit den Quotienten mit der Halbwertzeit t T 1 / 2 so kann man folgende Gleichung herleiten:
N = N 0 1 2 t T 1 / 2 mit N: verbliebene Anzahl und N0: Ausgangszahl

Logarithmus: Auflösung der Gleichung nach t
Während die Auflösung der Gleichung nach N und N0 relativ einfach ist, benötigt man für die Auflösung nach t den Logarithmus, insbesondere das folgende Rachengesetz:
ln(ab) = b ln(a), d.h. man kann durch Anwenden des Logarithmus den Exponenten nach vorne ziehen.
Damit gilt:
N N 0 = 1 2 t T 1 / 2 oder ln ( N N 0 ) = ln ( 1 2 t T 1 / 2 )
und damit
t = T1/2 ln ( N N 0 ) ln ( 1 2 t T 1 / 2 )

Aufgabe Zerfall von Uran-237
a) Gegeben ist ein Gramm des Isotops Uran-237 mit einer Halbwertzeit von 6,75 Tagen. Berechne die verbleibende Menge nach
- 1 Sekunde
- 1 Minute
- 1 Stunde
- 1 Tag,
- 1 Woche,
- 1 Monat,
- 1 Jahr.
Gebe Dein Ergebnis sowohl in Gramm als auch in Prozent an.

b) Ein Gramm Uran-237 enthält etwa 2,5 E 21 Teilchen.
Berechne Die Anzahl der Zerfälle innerhalb einer Sekunde.
Wie verändert sich diese Aktivität mit der Zeit? Beziehe Dich auf den Aufgabenteil a)

c) Berechne die Zeit, in der die Aktivität auf nur noch 1% abgefallen ist.


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