Welcher Abstand ist möglich zwischen Elektron und Atomkern?
Schritt 1) Planetenmodell (Elektron als
Teilchen)
Wir stellen uns zunächst das Atom als ein Planetensystem vor. Ein Elektron
kreise um den Atomkern, der aus einem einzelnen Proton besteht. Der Durchmesser
dieser Bahn liegt bei ungefähr 1E-10m (1 Angström).
a) Berechnen Sie die in diesem Abstand wirkende Coulombkraft.
b) Berechnen Sie Geschwindigkeit, Umlauffrequenz und Umlaufdauer für diese
Bahn.
c) Berechnen Sie den Umfang der Bahn.
d) Welchen Impuls hat das Elektron?
Schritt 2) Wellenmodell
Nun nehmen wir an, dass das Elektron eine Welle sei. Die Werte aus Schritt 1)
sollen weiterhin gelten.
a) Welche Wellenlänge hat das Elektron?
b) Berechnen Sie die Frequenz, mit der die Elektronenwelle schwingt. Achtung,
die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist nicht die Lichtgeschwindigkeit!
c) Wie oft passt die Welle in den Umfang der Bahn hnein?
d) Was geschieht, wenn die Welle nach einem Umlauf um den Kern wieder auf sich
selbst trifft?
Schritt 3) Bohrsche Postulate
Bohrs Leistung war es anzunehmen, dass sich die Elektronen nur dann auf einer
stabilen Bahn befinden können, wenn sie nicht mit sich selbst interferieren.
a) Formulieren Sie diese Aussage als Gleichung.
b) Leiten Sie eine Gleichung für die möglichen Abstände von Elektron und Kern
her, in der neben Naturkonstanten nur noch n vorkommt.
c) Fassen Sie alle Konstanten aus der Gleichung aus b) zusammen und führen Sie
eine Einheitenrechnung durch. Wie hängt das Ergebnis von n ab?
d) Atome können damit Radien im makroskopischen Berech haben. Berechnen Sie n
für Radien in der Größenordnung von 1μm, 1mm und 1m. (Anmerkung: Unter
extremen Bedingungen, z.B. im sehr kalten und fast vollständig leeren Vakuum
des tiefen Weltraums können so große Atome tatsächlich existieren. Es kann
sogar vorkommen, dass große Atome kleinere in sich aufnehmen.)
e) Berechnen Sie das elektrische Potential (Coulomb-Potential) auf den
einzelnen Radien. Leiten Sie dazu eine allgemeine Gleichung her (vergl. b) und
berechnen Sie die ersten 5 Werte. Geben sie sie sowohl in Joule als auch in
Elektronenvolt an.