Große Übung Gravitation


Grundlagen: Mondflug
Die Kapsel Apollo-13 (mA=5,8t) wurde am 11.4.1970 auf eine Umlaufbahn um den Mond geschickt. Dabei kam es zu einem Unfall, bei dem einer der Sauerstofftanks explodierte.
Beim Start musste zunächst die Gravitationskraft der Erde (ME=5,9722 E24 kg,) überwunden werden. Danach wurden die Triebwerke abgeschaltet und die Kapsel flog antriebslos bis zum Mond (MM = 7,35 E22 kg, RM = 1738km ). Geplant war dann eine Abbremsung und ein Einschwenken auf eine Umlaufbahn 120km über der Mondoberfläche.
Dabei musste eine Entfernung von über 400.000 km (Direkte Linie zwischen Mond- und Erdmittelpunkt) zurückgelegt werden.

Aufgabe 1) Gravitationskraft
a) Leiten Sie aus den gegebenen Größen und der Gravitationskraft an der Erdoberfläche den Erdradius her. Welcher Ortsfaktor herrscht an der Mondoberfläche? (Beide Rechnungen mit Einheitenrechnung!)
b) Welche Kräfte und welche resultierende Kraft wirkten auf die Kapsel auf der halben Strecke zwischen Mond und Erde?
c) * An welcher Stelle wäre die resultierende Kraft tatsächlich gleich Null?
d) Welche Geschwindigkeit hätte die Kapsel haben müssen, damit sie auf die geplante Umlaufbahn einschwenkt? Welche Umlaufzeit (in h) hätte sich ergeben?
Die Gravitationskraft der Erde sei hier zu vernachlässigen.
e) In der Verfilmung der Geschichte dieser Mission sagt Tom Hanks, nachdem die Triebwerke abgeschaltet wurden: "Jetzt haben wir Sir Isaak Newton ans Steuer gesetzt."
Für welche Phase des Fluges vom Start bis zum Einschwenken auf die Umlaufbahn gilt welches Newtonsche Axiom? Begründen Sie.
f) Zeichnen Sie für die Beschleunigungsphase, die Punkte aus b) und c) sowie für die Umlaufbahn Eine Skizze mit Kraftpfeilen. (Eine Skitze für alle Situationen).

Aufgabe 2) Gravitationspotential
a) Welche Energie war mindestens nötig, um den Punkt aus 1c) zu erreichen? Beachten Sie, dass sowohl das Potential der Erde als auch des Mondes beachtet werden müssen.
b) Vergleichen Sie diesen Betrag mit der Energie die notwendig wäre, um die Kapsel auf eine Umlaufbahn in 200km Höhe über der Erde zu bringen. Hier sei das Gravitationspotential zu vernachlässigen. Dafür müssen Sie die kinetische Energie der Kapsel mit einrechnen.
c) Welche Geschwindigkeit hätte die Kapsel mindestens, wenn vor dem Einschwenken in die Umlaufbahn um den Mond kein Bremsmanöver durchgeführt worden wäre? Was wäre geschehen?

Aufgabe 3) Kepplersche Gesetze
a) Zeigen Sie, dass das 3. Kepplersche Gesetz in der Form R2 ~T3 aus dem Gravitationsgesetz hergeleitet werden kann. Leiten Sie eine Gleichung für die Proportionalitätskonstante her. Wovon hängt diese insbesondere ab?
b) Prüfen Sie die Gültigkeit des Gesetzes anhand der Ergebnisse aus Aufgabe 2b) und der Umlaufzeit des Mondes (27,5d).


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