Grundlagen: Mondflug
Die Kapsel Apollo-13 (mA=5,8t) wurde am 11.4.1970 auf eine
Umlaufbahn um den Mond geschickt. Dabei kam es zu einem Unfall, bei dem einer
der Sauerstofftanks explodierte.
Beim Start musste zunächst die Gravitationskraft der Erde (ME=5,9722
E24 kg,) überwunden werden. Danach wurden die Triebwerke abgeschaltet und die
Kapsel flog antriebslos bis zum Mond (MM = 7,35 E22 kg,
RM = 1738km ). Geplant war dann eine Abbremsung und ein Einschwenken
auf eine Umlaufbahn 120km über der Mondoberfläche.
Dabei musste eine Entfernung von über 400.000 km (Direkte Linie zwischen Mond-
und Erdmittelpunkt) zurückgelegt werden.
Aufgabe 1) Gravitationskraft
a) Leiten Sie aus den gegebenen Größen und der Gravitationskraft an der
Erdoberfläche den Erdradius her. Welcher Ortsfaktor herrscht an der
Mondoberfläche? (Beide Rechnungen mit Einheitenrechnung!)
b) Welche Kräfte und welche resultierende Kraft wirkten auf die Kapsel auf der
halben Strecke zwischen Mond und Erde?
c) * An welcher Stelle wäre die resultierende Kraft tatsächlich gleich Null?
d) Welche Geschwindigkeit hätte die Kapsel haben müssen, damit sie auf die
geplante Umlaufbahn einschwenkt? Welche Umlaufzeit (in h) hätte sich
ergeben?
Die Gravitationskraft der Erde sei hier zu vernachlässigen.
e) In der Verfilmung der Geschichte dieser Mission sagt Tom Hanks, nachdem die
Triebwerke abgeschaltet wurden: "Jetzt haben wir Sir Isaak Newton ans Steuer
gesetzt."
Für welche Phase des Fluges vom Start bis zum Einschwenken auf die Umlaufbahn
gilt welches Newtonsche Axiom? Begründen Sie.
f) Zeichnen Sie für die Beschleunigungsphase, die Punkte aus b) und c) sowie
für die Umlaufbahn Eine Skizze mit Kraftpfeilen. (Eine Skitze für alle
Situationen).
Aufgabe 2) Gravitationspotential
a) Welche Energie war mindestens nötig, um den Punkt aus 1c) zu erreichen?
Beachten Sie, dass sowohl das Potential der Erde als auch des Mondes beachtet
werden müssen.
b) Vergleichen Sie diesen Betrag mit der Energie die notwendig wäre, um die
Kapsel auf eine Umlaufbahn in 200km Höhe über der Erde zu bringen. Hier sei das
Gravitationspotential zu vernachlässigen. Dafür müssen Sie die kinetische
Energie der Kapsel mit einrechnen.
c) Welche Geschwindigkeit hätte die Kapsel mindestens, wenn vor dem
Einschwenken in die Umlaufbahn um den Mond kein Bremsmanöver durchgeführt
worden wäre? Was wäre geschehen?
Aufgabe 3) Kepplersche Gesetze
a) Zeigen Sie, dass das 3. Kepplersche Gesetz in der Form R2
~T3 aus dem Gravitationsgesetz hergeleitet werden kann. Leiten Sie
eine Gleichung für die Proportionalitätskonstante her. Wovon hängt diese
insbesondere ab?
b) Prüfen Sie die Gültigkeit des Gesetzes anhand der Ergebnisse aus Aufgabe 2b)
und der Umlaufzeit des Mondes (27,5d).