exponentialfunktion

Exponentialfunktionen Verlauf von Wachstums- und Zerfallsprozessen

Viele Vorgänge in der Physik, aber auch in der Biologie, Chemie, Soziologie u.a. werden über Exponentialfunktionen dargestellt. Dies betrifft insbesondere Wachstums- und Zerfallsprozesse, z.B. den radioaktiven Zerfall, das Entladen von Kondensatoren, die Ausbreitung von Viren oder Bakterien usw.

Eine Exponentialfunktion hat grundsätzlich folgende Form:
f(x) = B^ax wobe B, die Basis, jede positive Zahl sein kann, a ist jede beliebige Zahl.
Ist B>1 und a>0, so liegt eine Wachstumskurve vor.
Ist B>1 und a<0 oder B < 1 und a>0, so liegt eine Zerfallskurve vor.

Zerfallsprozesse e-Funktion mit negativem Exponenten oder Funktion mit Basis 1/2

Zerfallsprozesse in der Physik werden insbesondere auf zwei Arten beschrieben. die Variable ist dabei typischerweise die Zeit t.

1) Basis 1/2: f(t) = A₀(1/2)^t/T_1/2
A₀ ist dabei der Startwert, d.h. der Wert zum Zeitpunkt t=0.
T_1/2 ist die Halbwertzeit, d.h. die Zeit, in der der Startwert auf die Hälfte gesunken ist.
Beim Radioaktivem Zerfall ist diese Halbwertzeit eine Kenngröße des jeweiligen Isotops und liegt zwischen wenigen Nanosekunden und Milliarden von Jahren.
Beim Entladen von Kondensatoren wird diese Halbwertzeit durch die Kapazität des Kondensators C und durch den Widerstand R bestimmt, übder den der Kondensator entladen wird.
Es gilt: T_1/2= ln(2)RC.
Die Funktion lautet also:
U(t)=U₀(1/2)^t/(ln(2)RC)

2) Basis e (e-Funktion):
Diese Form ist die Mathematisch ausgefeiltere Form, dafür ist sie weniger anschaulich.
Die Funktion lautet:
A(t) = A₀e^-kt
A₀ gilt wie oben.
e ist die Eulersche Zahl, eine Zahl mit unendlich vielen nicht periodischen Nachkommastellen. Ihre ersten Ziffern lauten: 2,718281828. ACHTUNG! Nicht mit der Elementarladung e=1,6E-19C verwechseln!!!!!!
k ist der Zerfallsfaktor, der Bestimmt, wie schnell die Kurve abfällt.
Das negative Vorzeichen ist wichtig, da e>1. Ohne das negative Vorzeichen würde sich eine Wachstumskurve ergeben.
Für den Radioaktiven Zerfall ist k = ln(2)/T_1/2.
Für die Entladung eines Kondensators ist k=1/RC, d.h. die Gleichung lautet:
U(t) = U₀ e^-t/RC

Umstellung der Gleichung Benutzung des Logarithmus

Aus der 10. Klasse sollte der Logarithmus bekannt sein. Insbesondere gelten folgende Logarithmengesetze:

ln(a*b) = ln(a)+ln(b)
ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
ln(a^b)=b ln(a)
Dieses Gesetz ist für die Umstellung besonders wichtig.

Diese Gesetze gelten für alle Logarithmen, d.h. für den Zehnerlogarithmus log, den natürlichen Logarithmus ln und den Logarithmus zu einer beliebigen Basis B lg_B.
Ich verwende im folgenden nur den natürlichen Logarithmus.

Umstellungen:
A(t) = A₀e^-kt soll nach allen Variablen Umsgestellt werden.
1) Umstellung nach A₀: Es muss nur durch e^-kt geteilt werden:
A₀ = A(t)/e^-kt
2)Umstellung nach k oder t:
Zunächst wird durch A₀ geteilt. A(t)/A₀=e^-kt
Nun nehemn wir auf beiden Seiten den Logarithmus und wenden das 3. Logarithmengesetz an:
ln(A(t)/A₀) = ln(e^-kt)
= -kt ln(e)
Da ln(e)=1 vereinfacht sich dies zu
ln(A(t)/A₀) = -kt
Um nach k oder t aufzulösen muss man nun einfach durch -k oder -t teilen:
k = -ln(A(t)/A₀)/t
t = - ln(A(t)/A₀)/k

Für die Gleichung mit der Basis 1/2 gilt:
1) Umstellung nach A₀ wie oben:
A₀ = A(t)/(1/2)^-kt
2) Umstellung nach k oder t ebenfalls wie oben, allerdings entfällt die Vereinfachung, dass ln(e)=1, d.h. es bleibt ein Faktor ln(1/2) stehen, durch den man zusätzlich im letzten Schritt teilen muss.
Außerdem entfällt das negative Vorzeichen.
k = ln(A(t)/A₀)/ln(1/2)t
t = ln(A(t)/A₀)/ln(1/2)k