Herleitung der Zentripetalkraft
Kraft bei einer gleichförmigen Kreisbewegung
Grundlagen: Beschleunigung und Kraft
1) Die Beschleunigung eines Körpers ist definiert als seine
Geschwindigkeitsänderung in der Zeit: a =
2) Wirkt auf einen Körper eine Kraft, so wird er beschleunigt: F = m a
Außerdem nutzt man aus, dass für kleine Winkel die Sinusfunktion annähernd eine
Ursprungsgerade mit der Steigung 1 ist, d.h. sin(x)≈x für x<5°, dies
gilt insbesondere bei einer Grenzwertbildung x→0
Grundüberlegung: Geschwindigkeitsänderung bei einer
Kreisbewegung
Bewegt sich ein Körper gleichförmig im Kreis, so ändert sich der Betrag
seiner Geschwindigkeit nicht. Aber es ändert sich die Richtung der
Geschwindigkeit. Auch diese Geschwindigkeitsänderung muss mit einer
Beschleunigung und damit auch mit einer Kraft verbunden sein.
Wir erhalten die Geschwindigkeitsänderung durch die Differenz der
Geschwindigkeitspfeile. Der zweite Pfeil wurde dabei zum Ansatzpunkt
des ersten verschoben. |
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Herleitung: Konstruktion von a aus Δv
Da der Betrag der Geschwindigkeit gleich bleiben soll, bildet sich ein
gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen
v1=v2=v und Δv und dem dazwischenliegenden
Winkel Δφ.
In ihm gilt die Beziehung: sin(1/2 Δφ) =
Wählen wir den Winkel klein, so können wir vereinfachen: 1/2
Δφ = oder Δφ =
Daraus folgt: Δv = v·Δφ
Lassen wir nun den Zeitabstand Δt bliebig klein werden, so
erhalten wir einen Grenzwert:
also a = ω2r
Mit F = ma erhalten wir für die Zentralkraft: Fz = m
ω2 r
oder mit ω=v/r: Fz=m v2 / r.
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