LÖSUNG m-0020

a) Begründung:
Bei allen Autos wird die potentioelle Energie ausschließlich in kinetische Energie umgewandelt. Da sowohl W_pot als auch W_kin proportional zu m sind gilt:
gh = 1/2 v² für alle Autos.
Da alle Autos aus der gleichen Höhe starten ist v überall gleich.

Ansatz:
Die potentielle Energie wird in kinetische umgewandelt:
mgh = 1/2 m v² => v = $\sqrt{2\mathrm{gh}}$ = 4,85 m/s Einheitenrechnung: $\sqrt{\frac{m}{s^2}m}=\sqrt{\frac{m^2}{s^2}}=\frac{m}{s}$

b) Konstruktion Konstruktion hier schematisch. Zwischen Fh (gesuchte Hangabtriebskraft) und Fa (Andruckkraft auf die Bahn - hier nicht benötigt) ist ein rechter Winkel. Die einzelnen Werte lauten: Fg in N a in m/s2 Tick 0,84 3,4 Trick 2,08 6,9 Track 1,49 8,5

c) Berechnung:
Ansatz:
Für eine beschleunigte Bewegung gilt:
s = 1/2 a t² , damit ist die Zeit: t = $\sqrt{\frac{2s}{a}}$

Dabei müssen die Strecken bis zur ersten Markierung berechnet werden durch:
cos β = 0,3m / x, also x = 0,3m/cos β

Die berechneten Werte sind:

	s in m	t in s
Tick	0,32	0,41
Trick	0,71	0,25
Track	0,6	0,19

Einheitenrechnung:
$\sqrt{\frac{m}{\frac{m}{s^2}}}=\sqrt{s^2}=s$

d) Begründung:
Die kinetische Energie setzt sich bei Einbeziehung der Räder aus der kinetischen Energie der Translation und der Rotation zusammen. Die Räder haben aufgrund unterschiedlicher Massen unterschiedliche Trägheitsmomente (J_Track < J_Tick < J_Trick).
Damit wird auch ein unterschiedlich großer Teil der Energie für die Translation übrig bleiben.

e) Berechnung:
Die kinetische Energie setzt sich bei Einbeziehung der Räder aus der kinetischen Energie der Translation und der Rotation zusammen. Es gilt also:
mgh = 1/2 m v² + 1/2 J ω²
Außerdem kennen wir das Trägheitsmoment für einen Hohlzylinder:
J = m r²

Damit gilt:
mgh = 1/2 m v² + 1/2 m_rad r² ω²

Für den Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Translationsgeschwindigkeit gilt außerdem:
v = ω r

Damit gilt
mgh = 1/2 m v² + 1/2 m_rad v²

Also
v = $\sqrt{\frac{2\mathrm{mgh}}{(m+m_{\mathrm{rad}})}}$
Die einzelnen Werte lauten:

	v in m/s
Tick	4,58
Trick	4,10
Track	4,80

Einheitenrechnung:
$\sqrt{\frac{\mathrm{kg}\frac{m}{s^2}m}{\mathrm{kg}}}=\sqrt{\frac{m^2}{s^2}}=\frac{m}{s}$

f) Berechnung:
Der prozentuale Anteil ergibt sich aus dem Quotienten von Rotationsenergie W_rot = 1/2 J ω² = 1/2 m_rad v² und
der Gesamtenergie W_pot= mgh

	Wrot in J	Wpot in J	p in %
Tick	0,31	2,9	10,7
Trick	1,0	3,5	28,6
Track	0,046	2,1	2,2

g) Berechnung: Der Drehimpuls ist definiert als L = Jω
Mit J = m r² lässt sich dieses umformen zu:
L = m v r mit r = 0,4m

Die Werte lauten:

	L in kg m2/s
Tick	0,458
Trick	0,492
Track	0,336

h) Berechnung: Mit der Gleichung aus g) können wir rechnen:
v = L/mr mit r=0,15m
Außerdem gilt:
ω=v/r

Die einzelnen Werte lauten:

	v in m/s	ω in 1/s
Tick	12,2	81,5
Trick	10,9	72,9
Track	12,8	85,3

i) Konstruktion Die einzelnen Impulse ergeben sich aus P = mv Konstruktion hier schematisch. Die einzelnen Werte lauten: p in kg m/s Trick 3,28 Track 2,23 gesamt 5,34

j) Konstruktion Der Gesamtimpuls wird übernommen, die zweite Impuslrichtung wird beliebig gesetzt. Bei diesen Vorgaben sind die Werte für Konstruktion hier schematisch. Einige mögliche Lösungen sind: p1 in kg m/s p2 in kg m/s 0,5 5,3 1 5,2 1,5 5,1 2 4,9 2,5 4,7 3 4,4 Für alle Werte gilt: W' > W, d.h. die Energie vor dem Stoß ist kleiner als danach. Damit sind alle Lösungen unmöglich.

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