Aufgaben Lösungen - Zyklotron

Aufgabe 1: Grundlegende Funktionsweise eines Zyklotrons

1. Berechnung der Zyklusdauer des Protons

Die Zyklusdauer ( $T$ ) kann berechnet werden durch: $T = \frac{2π}{ω} = \frac{2πm_p}{qB}$ Gegeben:

Protonenmasse: $m_p = 1.67 × 10$ ^-27 kg
Ladung: $q = 1.6 × 10$ ^-19 C
Magnetfeld: $B = 1.2 T$

T = \frac{2π \cdot 1.67 \times 10^{- 27}}{1.6 \times 10^{- 19} \cdot 1.2}

T = 5.48 \times 10^{- 8} s

2. Bestimmung der Zyklusfrequenz des Protons

Die Zyklusfrequenz ( $f$ ) ist der Kehrwert der Zyklusdauer: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{5.48}$ $f = 1.83 \times 10^{7} Hz$

3. Anzahl der Umrundungen pro Sekunde

Das Proton umrundet das Zyklotron $1.83 × 10$ ⁷ mal pro Sekunde.

Aufgabe 2: Maximale Energie eines Zyklotrons

1. Maximale kinetische Energie des Protons

Die maximale kinetische Energie ( $K$ ) kann berechnet werden durch: $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ Die maximale Geschwindigkeit ( $v$ ) des Protons wird durch den maximalen Radius ( $r$ ) und das Magnetfeld ( $B$ ) bestimmt: $v = \frac{q \cdot B \cdot r}{m}$ Gegeben:

Maximaler Radius: $r = 0.5 m$
Magnetfeld: $B = 1.5 T$

v = \frac{1.6 \times 10^{- 19} \cdot 1.5 \cdot 0.5}{1.67}

v = 7.19 \times 10^{7} m/s

Damit:

K = \frac{1}{2} \cdot 1.67 \times 10^{- 27} \cdot (7.19 \times 10^{7})^{2}

K = 4.32 \times 10^{-13} J

2. Maximale Geschwindigkeit des Protons

Die maximale Geschwindigkeit des Protons wurde bereits berechnet: $v = 7.19 \times 10^{7} m/s$

3. Anzahl der Umläufe zur maximalen Energie

Die Anzahl der Umläufe ( $n$ ) kann berechnet werden durch die Gesamtenergie geteilt durch die Energie pro Umlauf. Die Energie pro Umlauf ist gegeben durch die Spannungsdifferenz zwischen den Dees: $E = q \cdot V$ Gegeben:

Spannungsdifferenz: $V = 200 kV = 200 × 10$ ³ V

E = 1.6 \times 10^{- 19} \cdot 200 \times 10^{3}

E = 3.2 \times 10^{-14} J

Die Anzahl der Umläufe ist:

n = \frac{K}{E} = \frac{4.32}{\times}

n = 13.5

Das Proton benötigt also etwa 14 Umläufe, um die maximale Energie zu erreichen.

Aufgabe 3: Einfluss der Teilchenmasse auf die Zyklotronfrequenz

1. Zyklotronfrequenz für Protonen

Die Zyklotronfrequenz ( $f$ ) für Protonen ist gegeben durch: $f = \frac{q}{2πm_p} \cdot B$ Gegeben:

Magnetfeld: $B = 1.2 T$

f = \frac{1.6 \times 10^{- 19} \cdot 1.2}{2π \cdot 1.67 \times 10^{- 27}}

f = 1.83 \times 10^{7} Hz

2. Zyklotronfrequenz für Deuteronen

Die Zyklotronfrequenz für Deuteronen ist gegeben durch: $f = \frac{q}{2πm_d} \cdot B$ Gegeben:

Deuteronmasse: $m_d = 3.34 × 10$ ^-27 kg

f = \frac{1.6 \times 10^{- 19} \cdot 1.2}{2π \cdot 3.34 \times 10^{- 27}}

f = 0.915 \times 10^{7} Hz

3. Unterschiede in den Frequenzen und ihre Auswirkungen

Die Zyklotronfrequenz der Deuteronen ist halb so groß wie die der Protonen. Dies liegt daran, dass die Masse der Deuteronen doppelt so groß ist wie die der Protonen. Dies bedeutet, dass die Deuteronen in einem Zyklotron langsamer beschleunigt werden als Protonen, was bei der Anpassung der Beschleunigungsphasen berücksichtigt werden muss.

Aufgabe 4: Berechnung der Energie von Elektronen im Zyklotron

1. Maximale kinetische Energie der Elektronen

Die maximale kinetische Energie ( $K$ ) der Elektronen kann berechnet werden durch: $K = \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^{2}$ Die maximale Geschwindigkeit ( $v$ ) der Elektronen wird durch den maximalen Radius ( $r$ ) und das Magnetfeld ( $B$ ) bestimmt: $v = \frac{q \cdot B \cdot r}{m_e}$ Gegeben:

Maximaler Radius: $r = 0.3 m$
Magnetfeld: $B = 0.8 T$

v = \frac{1.6 \times 10^{- 19} \cdot 0.8 \cdot 0.3}{9.11 \times 10^{- 31}}

v = 4.21 \times 10^{7} m/s

Damit:

K = \frac{1}{2} \cdot 9.11 \times 10^{- 31} \cdot (4.21 \times 10^{7})^{2}

K = 8.06 \times 10^{-15} J

2. Maximale Geschwindigkeit der Elektronen

Die maximale Geschwindigkeit der Elektronen wurde bereits berechnet: $v = 4.21 \times 10^{7} m/s$

3. Anzahl der Umläufe zur maximalen Energie

Spannungsdifferenz: $V = 100 kV = 100 × 10$ ³ V

E = 1.6 \times 10^{- 19} \cdot 100 \times 10^{3}

E = 1.6 \times 10^{-14} J

Die Anzahl der Umläufe ist:

n = \frac{K}{E} = \frac{8.06}{\times}

n = 5.04

Das Elektron benötigt also etwa 5 Umläufe, um die maximale Energie zu erreichen.

Aufgabe 5: Betrieb eines Zyklotrons bei variablen Magnetfeldstärken

1. Zyklotronfrequenz des Protons bei 0.5 T

Die Zyklotronfrequenz ( $f$ ) bei 0.5 T ist gegeben durch: $f = \frac{q}{2πm_p} \cdot B$ Gegeben:

Magnetfeld: $B = 0.5 T$

f = \frac{1.6 \times 10^{- 19} \cdot 0.5}{2π \cdot 1.67 \times 10^{- 27}}

f = 7.61 \times 10^{6} Hz

2. Zyklotronfrequenz des Protons bei 1.5 T

Die Zyklotronfrequenz ( $f$ ) bei 1.5 T ist gegeben durch: $f = \frac{q}{2πm_p} \cdot B$ Gegeben:

Magnetfeld: $B = 1.5 T$

f = \frac{1.6 \times 10^{- 19} \cdot 1.5}{2π \cdot 1.67 \times 10^{- 27}}

f = 2.28 \times 10^{7} Hz

3. Auswirkungen der Erhöhung der Magnetfeldstärke

Die Erhöhung der Magnetfeldstärke erhöht die Zyklotronfrequenz, was bedeutet, dass das Proton schneller beschleunigt wird und eine höhere kinetische Energie erreicht. Die Anzahl der Umläufe, die benötigt werden, um die maximale Energie zu erreichen, nimmt ab, da die Beschleunigung pro Umlauf effektiver ist.