Lösung e-0228

Aufgabe 1)

a) Energieansatz:
Die elektrische Energie im Kondensator wird in kinetische Energie umgewandelt.
W_el=W_kin
Ue = 1/2 m v²
=> v = Wurzel(2Ue/m) = 10.271.050 m/s

Kraftansatz:
Im Kondensator besteht ein elektrisches Feld:
E = U/d = 60.000V/m
Dieses bewirkt eine Kraft auf das Elektron:
F = e E = 9,6 E-15N
Diese Kraft bewirkt wiederum eine Beschleunigung:
F = m a => a = F/m = 1,055 E16 m/s²
Für eine beschleunigte Bewegung gilt:
s = 1/2 a t² mit s = d
Daraus erhalten wir die Dauer der Beschleunigung:
t = Wurzel(2d/a) = 9,74 E-10 s
Die Geschwindigkeit erhalten wir bei einer beschleunigten Bewegung aus:
v = a t = 10.271.590 m/s
Anmerkung: Die Abweichung der Ergebnisse aus den beiden Ansätzen erklärt sich durch mehrfache Rundungen.

b) Vergrößerung der Beschleunigungsspannung:

• Energieansatz:
  Die elektrische Energie steigt. Damit kann auch mehr kinetische Energie erzeugte werden und die Geschwindigkeit steigt.
• Kraftansatz:
  Die elektrische Feldstärke steigt linear. Damit steigt auch die Kraft und Beschleunigung linear.
  Diese höhere Beschleunigung reduziert zwar die Aufenthaltsdauer im Kondensator. Diese sinkt aber mit der Wurzel der Beschleunigung, während die Geschwindigkeit mit der Beschleunigung linear steigt. Daher überwiegt der steigende Effekt. Die Geschwindigkeit nimmt zu.

• Energieansatz:
  Die elektrische Energie wird nicht vom Plattenabstand beeinflusst. Damit ändert sich auch die erzeugte kinetische Energie nicht und die Geschwindigkeit bleibt gleich.
• Kraftansatz:
  Mit dem sinkenden Plattenabstand steigt die elektrische Feldstärke linear und damit auch die Kraft und die Beschleunigung des Elektrons.
  Da die Beschleunigung linear wächst während die Beschleunigungsstrecke (Plattenabstand d) sinkt, sinkt der Faktor 2d/a quadratisch. Damit sinkt die Aufenthaltsdauer t = Wurzel(2d/a) wieder linear. Dieses lineare sinken hebt sich mit dem linearen steigen der Beschleunigung auf und die Geschwindigkeit bleibt unverändert.

c) Mit der höheren Masse muss sich die kinetische Energie auf eine höhere Masse "verteilen". Damit sinkt die Geschwindigkeit.
ODER:
Die höhere Trägheit der Elektronen bewirkt, dass sich die Beschleunigung nicht so stark in eine Geschwindigkeitserhöhung umsetzt. Daher sind die Elektronen langsamer.
Je näher man der Lichtgeschwindigkeit kommt, desto größer ist die Hemmung der Beschwlunigung durch die Massenzunahme. Daher lässt sich die Lichtgeschwindigkeit nie erreichen. Es wäre auch unendlich viel elektrische Energie nötig.

Aufgabe 2)

a) In horizontaler Richtung liegt eine gleichförmige Bewegung vor:
s = v t => t = s/v = 4,87 ns
Während dieses Aufenthalts liegt zwischen den Platten in vertikaler Richtung eine beschleunigte Bewegung vor. Die Beschleunigung ergibt sich dabei aus der elektrischen Kraft und der Feldstärke:
a = F_el/m = e E / m = e (U/d) /m = 2,198 E15 m/s²
Damit erhalten wir als Auslenkung:
s = 1/2 a t² = 0,026m = 2,6cm

Die maximale Ablenkung darf nur den halben Plattenabstand betragen, also s=1cm. Die Aufenthaltsdauer ändert sich nicht, da sich die Länge der Platte und die Eintrittsgeschwindigkeit nicht ändern. Daher kann sich nur die Beschleunigung ändern:
s = 1/2 a t² => a = 2s/t² = 8,433 m/s²
Mit dieser Beschleunigung erhlten wir für die Kraft:
F = m a = 7,67 E-16 N
Die Spannung erhalten wir entsprechend aus:
F = e U/d => U = F d/e = 95,9 V

c) In vertikaler Richtung liegt eine beschleunigte Bewegung vor. Damit erhalten wir folgende vertikale Geschwindigkeit mit den Werten aus a)
v = a t = 10.704.260 m/s
Diese müssen wir mit der horizontalen Geschwindigkeit verrechnen. Da die beiden Geschwindigkeiten senkrecht aufeinander stehen erhalten wir mit dem Pythagoras:
v_ges=Wurzel(v_vert² + v_hor²) = 14.835.321 m/s
Auch den Austrittswinkel erhalten wir aus den Geschwindigkeiten:
Da diese senkrecht aufeinander stehen gilt:
tan(α) = v_vert/v_hor => α = arctan(v_vert/v_hor) = 46.8°

Aufgabe 3)

a) Für das Magnetfeld einer langen Spule gilt:
B = μ₀μ_rI*N/l = 4,1 mT
Aufgrund dieses Magnetfeldes entsteht eine Lorenzkraft. Diese wirkt als Zentripetalkraft:
q v B = m v² /r => r = m v²/evB = mv/eB= 0,0143m = 1,43cm

b) Steigen die Windungszahl oder der Strom oder sinkt die Länge der Spule, so steigt auch die magnetische Feldstärke B und die Lorenzkraft. Dadurch verringert sich der Bahnradius.
Die Querschnittsfläche der Spule hat dagegen keinen Einfluss.
Wird der Elektronenstrahl schneller, so muss sich der Radius der Bahn vergrößern, damit wir auf die gleiche Zentripetalkraft kommen.

Nimmt die Masse des Elektrons zu, so muss eine stärkere Lorenzkraft wirken, um die Elektronen auf einer entsprechenden Kreisbahn zu halten. Dies geschieht durch die Erhähung der magnetischen Feldstärke. Bei einem Zyklotron sind daher die Schuhe des Magneten so geformt, dass sie sich nach außen hin annähern.

Aufgabe 4)

a) Wir nutzen die linke-Hand-Regel für die Lorenzkraft, da es sich um Elektronen handelt.
Da die Elektronen vom eletrischen Feld nach oben abgelenkt werden muss die Lorenzkraft nach unten wirken. Das Magnetfeld ist daher in die Zeichenebene hinein gerichtet.

b) Die elektrische Kraft ist gleich der Lorenzkraft:
qU/d = qvB => v = U/Bd
Weder Masse noch Ladung haben Einfluss auf diese Geschwindigkeit, d.h. der Filter wirkt für alle Arten von geladenen Teilchen.