Aufgabe: Stein fällt in einen Brunnen

Ein Stein wird in einen 50m tiefen Brunnen geworfen. Die Aufgabe umfasst die Berechnung der Fallzeit, der Aufprallgeschwindigkeit, der Dauer bis zum Hören des Geräusches und die Ableitung einer allgemeinen Gleichung.

a) Wie lang dauert der Fall?

Die Fallzeit berechnet sich mithilfe der Gleichung des freien Falls:

Formel: \( s = \frac{1}{2} g t^2 \)

Umgestellt nach \( t \): \( t = \sqrt{\frac{2s}{g}} \)

Gegeben: \( s = 50 \, \text{m} \), \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \)

Einsetzen: \( t = \sqrt{\frac{2 \cdot 50}{9,81}} \approx 3,19 \, \text{s} \)

Ergebnis: Die Fallzeit beträgt ca. 3,19 Sekunden.

b) Wie schnell ist der Stein am Boden des Brunnens?

Die Geschwindigkeit am Boden berechnet sich mit der Formel:

Formel: \( v = g \cdot t \)

Gegeben: \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \), \( t = 3,19 \, \text{s} \)

Einsetzen: \( v = 9,81 \cdot 3,19 \approx 31,3 \, \text{m/s} \)

Ergebnis: Die Geschwindigkeit des Steins beim Aufprall beträgt ca. 31,3 m/s.

c) Wie lang dauert es, bis man das Geräusch hört?

Die Gesamtzeit setzt sich zusammen aus der Fallzeit des Steins und der Zeit, die der Schall benötigt, um die 50 m zurückzulegen.

Fallzeit: \( t_{\text{Fall}} = 3,19 \, \text{s} \)

Schallzeit: \( t_{\text{Schall}} = \frac{s}{v_{\text{Schall}}} \)

Gegeben: \( s = 50 \, \text{m} \), \( v_{\text{Schall}} = 300 \, \text{m/s} \)

Einsetzen: \( t_{\text{Schall}} = \frac{50}{300} \approx 0,17 \, \text{s} \)

Gesamtzeit: \( t_{\text{Gesamt}} = t_{\text{Fall}} + t_{\text{Schall}} = 3,19 + 0,17 \approx 3,36 \, \text{s} \)

Ergebnis: Man hört das Geräusch nach ca. 3,36 Sekunden.

d) Allgemeine Gleichung für die Zeit

Die Gesamtzeit \( t_{\text{Gesamt}} \) ist die Summe aus der Fallzeit \( t_{\text{Fall}} \) und der Schallzeit \( t_{\text{Schall}} \):

Formel: \( t_{\text{Gesamt}} = \sqrt{\frac{2s}{g}} + \frac{s}{v_{\text{Schall}}} \)

Die Zeit hängt von der Tiefe \( s \), der Erdbeschleunigung \( g \) und der Schallgeschwindigkeit \( v_{\text{Schall}} \) ab.

Bestimmung der Tiefe mithilfe von Substitution

Für die Berechnung der Tiefe \( s \) wird die Gleichung substituiert:

\( t_{\text{Gesamt}} = \sqrt{\frac{2s}{g}} + \frac{s}{v_{\text{Schall}}} \)

Setze \( x^2 \) für \( s \):

\( t_{\text{Gesamt}} = \sqrt{\frac{2x^2}{g}} + \frac{x^2}{v_{\text{Schall}}} = \sqrt{\frac{2}{g}}x + \frac{x^2}{v_{\text{Schall}}}\)

Dies ergibt eine quadratische Gleichung, die gelöst werden kann, um \( x \) zu bestimmen. Anschließend wird \( x \) in \( s \) umgerechnet.

\( x^2 + \sqrt[2]{\frac{2}{g \cdot v_{schall}^2}}x - t_{ges}v_{Schall}\)

\( x_{1,2} = - \frac{\sqrt[2]{\frac{2}{g \cdot v_{schall}^2}}}{2} \pm \sqrt{\frac{2}{g \cdot v_{schall}^2 \cdot 4} + t_{ges}v_{Schall}}\)

\(s = \left( - \frac{\sqrt[2]{\frac{2}{g \cdot v_{schall}^2}}}{2} \pm \sqrt{\frac{2}{g \cdot v_{schall}^2 \cdot 4} + t_{ges}v_{Schall}}\right)^{2}\)