Lösung: Q-0018

Übergang zum Bohrschen Atommodell

1) v im Planetenmodell
Die Coulombkraft wirkt als Zentripetalkraft:
F_C=F_z
$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}\frac{\mathrm{qQ}}{r^2}$= m$\frac{v^2}{r}$mit q=Q=e und ε_r=1
v=$\sqrt{\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\mathrm{rm}}}$= 1,59E6m/s
Damit ergibt sich eine kinetische Energie von:
W_kin=1/2 m v² = 1,15 E-18J

2) Wellenlänge
Laut de Broglie gilt: p = h/λ
=> λ=h/p = λ/mv = 4,57E-10m = 45,7 nm Was der Wellenlänge von ultraiolettem Licht entspricht.
Um zu ermitteln, wie oft diese Wellenlänge in die Umlaufbahn passt vergleichen wir mit dem Umfang:
N = $\frac{2\mathrm{\pi r}}{\lambda }$= 1,375
Da λ nicht ein ganzzahliges Vielfaches von U ist kommt es bereits nach dem ersten Umlauf zu einer teilweise destruktiven Interferenz. Man kann zeigen, dass es bei beliebig vielen Umläufen insgesamt zu einer vollständig destruktiven Interferenz kommt. Somit ist diese Umlaufbahn nicht möglich.

3) Bohrsche Radien
Für eine stabile Umlaufbahn muss der Umfang ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge sein:
U = n λ
Mit v aus 1) folgt:
2πr = n$\frac{h}{\mathrm{mv}}$= n $\frac{h}{m\sqrt{\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}rm}}}$
Umformen nach r ergibt:
r_n = n² $\frac{h^2{\epsilon }_0}{\pi e^{2}m}$
Für n=1 ergibt sich der Bohrsche Atomradius von 5,29E-11m

4) W_pot
Die potentielle Energie ergibt sich aus dem Integral der Coulombkraft:
W_pot = ${\int }_R^{\infty }\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r^2}\mathrm{dr}$=${(-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r})}_R^{\infty }$= $\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}R}$
Mit r_n = R aus 3) folgt:
W_n=$\frac{e^{4}m}{4n^2{\epsilon }_0^2{h}^2}$= $\frac{1}{n^2}$4,34E-18J = $\frac{1}{n^2}$27eV

5) Vergleich mit W_kin
Mit v aus 1) und r aus 3) folgt:
W_kin= 1/2 m v² = 1/2 m $\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\mathrm{rm}}$=$\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\pi e^{2}m{}_{}}{h^2{\epsilon }_0}\frac{1}{n^2}$= $\frac{e^{4}m}{8{\epsilon }_0^2{h}^2}\frac{1}{n^2}$=1/2 W_kin

Orbitale: 6) Es entsteht ein kugelförmiges Orbital, das sogenannte s-Orbital ohne ausgezeichnete Raumrichtung.
7) Das Kugelförmige s-Orbital wird in einer bzw. in zwei Raumrichtungen eingeschnürt. Es entsteht ein hantelförmiges bzw. kleeblattartiges Orbital, das p- bzw. d-Orbital.

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