Lösung: Q-0014

Aufgabe 1)
a) Stellen wir die Heisenbergsche Unschärferelation nach dem Impuls um, so erhält man:
Δp = $\frac{h}{4\Pi \mathrm{\Delta x}}$mit Δx=31pm
=> Δp = 1,7E-24 kg m/s
Aus p = mv erhalten wir: v = p/m = 1,87 E6 m/s
Die kinetische Energie ist: W_kin = 1/2 m v² = 1,59E-12 J

b) Mit der Boltzmann-Gleichung gilt:
W_kin = 3/2 k T
=> T = 2 W_kin / 3k = 76.674,68 K = 76.401,5 °C

c)
Die Masse des Heliumkernes setzt sich aus den Einzelmassen der Nuklide zusammen (kein Massendefekt berücksichtigt!):
m_he = 2m_n + 2m_p ≈4m_np = 6,7E-27 kg
Aus der Dichte und der Masse erhalten wir das Volumen:
Vol_He = m_He/σ_Kern = 3,35E-44 m³
Aus dem Volumen einer Kugel erhalten wir den Radius, der der Ortsunschärfe der Nukleonen entspricht.
Vol_Kugel = 4/3 π r³
=> r = $\sqrt[3]{\frac{3{\mathrm{Vol}}_{\mathrm{Kugel}}}{4\pi }}$= 2,0E-15 m =Δx
Wie in Aufgabe a) erhalten wir:
Δp = 2,64E-20 kg m/s
v = 1,58 E7 m/s
W_kin = 2,087 E-13 J
T = 1 E10 K
D.h. der Atomkern ist etwa 10.000-mal heißer als die Atomhülle.

Aufgabe 2)
a) Die Dichte der Teilchen pro Kubikcentimeter ist: n = 1E6 ccm^-1 = 1E15m^-3
Der mittlere Abstand ist dann:
d = $\sqrt[3]{\frac{1}{n}}$= 10μm = 1 E-5 m
Wie in a) erhalten wir dann:
Δp = $\frac{h}{4\Pi \mathrm{\Delta x}}$ = 5,27 E-30 kg m/s

b) Wie in a) berechnen wir die Geschwindigkeit und die kinetische Energie:
=> v = Δp/m_He = Δp/(4m_np) = 7,87E-4 m/s
=> W_kin = 2,07E-33 J
Aus der Boltzmann-Gleichung erhalten wir:
W_kin = 3/2 k T
=> T = 2 W_kin / 3k = 1E-10 K
c) Temperaturmessung kann immer nur in einem begrenzten Volumen stattfinden. Damit gibt es aber immer auch eine endliche Ortsunschärfe, die zu einer von Null verschiedenen Impulsunschärfe führt.
Damit muss den Teilchen immer eine (sehr kleine) Restenergie in Form kinetischer Energie verbleiben, sie müssen also eine von Null Kelvin verschiedene Temperatur haben.
d)Wir gehen von der Boltzmann-Gleichung aus und setzten nacheinander die Definitionen von kinetischer Energie, Impuls und die Heisenbergsche Unschärferelation ein:
T = 2 W_kin/3k = 2$\frac{\frac{1}{2}m{v}^2}{3k}$=$\frac{m{\left(\frac{\mathrm{\Delta p}}{m}\right)}^2}{3k}$=$\frac{{\mathrm{\Delta p}}^2}{3k·m}$= $\frac{{\left(\frac{h}{4\mathrm{\pi \Delta x}}\right)}^2}{3k·m}$=$\frac{h^2}{48{\pi }^{2}k·m·{\mathrm{\Delta x}}^2}$
Es handelt sich überwiegend um Naturkonstanten. Die verbleibende Mindestenergie ist somit antiproportional zur Teilchenmasse und zum Quadrat der Ortsunschärfe.
Wie in den vorausgegangenen Aufgaben rechnen wir nun:
Δx = $\sqrt[3]{1\mathrm{ccm}}$= 1cm = 0,01m
=> Δp = 5,27E-33 kg m/s
=> v = 7,89E-7 m/s
=> W_kin = 2,08E-39 J
=> T = 1,01E-13 K
Eine tiefere Temperatur als 0,1 pK ist also nicht erreichbar. Technisch werden z.Z. mit lasergestützten Kühlsystemen 1mK erreicht.

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