a) gesucht: r0 und f
Ansatz: Für die ungedämfte Schwingung gilt:
f0=1/2π Wurzel(1/LC) = 375,1Hz
Für die gedämfte Schwingung gilt.
f =1/2π Wurzel(1/LC - R2/4L2) = 359,8Hz
Dies entspricht einer Anderung von:
p = 100% - f0 100% /f = 4,1%
Die errechnete Frequenz entspricht einer Schwingungsdauer von T = 1/f = 0,00278s = 2,78ms.
b) Das Argument der Wurzel darf nicht negativ werden.
Das ist der Fall, wenn 1/LC = R2/4L2 oder
R = Wurzel(4L/C) = 70,7Ω
Beim aperiodischen Grenzfall wird die Frequenz Null, d.h. es kommt zu keiner Schwingung mehr, sondern das System bewegt sich nur noch auf die Ruhelage zu, durchquert diese aber nicht mehr.
c) Da Spule und ohmscher Widerstand für den Strom durchlässig sind und einen endlichen ohmschen Widerstand haben wird die Spannung am Kondensator anliegen, dessen ohmscher Widerstand gegen unendlich geht.
Die Amplitude der Schwingung ändert sich mit U0e-Rt/2L = 1,88V
d) Aus der Dämpfungsgleichung für die Amplitude ergibt sich:
t = -ln(0,1V/12V) 2L/R = 7,2 ms.
Dies entspricht einer Schwingunsanzahl von: N = 7,2ms/2,78ms also ungefähr 2,5 Schwingungen.
e) Die Kapazität bestimmt zwar die Grundfrequenz, spielt aber für die Abweichung von der Grundfrequenz keine Rolle, da sie nicht im zusätzlich auftretenden Glied auftaucht. Für die Dämpfung ist C irrelevant!
Die Induktivität Bestimmt sowohl die Grundfrequenz als auch die Abweichung von dieser. Es gilt: Je größer die Induktivität, desto kleiner ist die Abweichung.
Ebenso gilt für die Dämpfung: Je größer die Induktivität, desto kleiner ist die Dämpfung.
Der ohmsche Widerstand bestimmt nicht die Grundfrequenz der Schaltung, aber sowohl die Abweichung von dieser als auch den Grad der Dämpfung. Es gilt: Je größer R desto größer sind auch Abweichung und Dämpfung.