Lösung: L-0046

Das Zyklotron

Aufgabe:
a) Die dem Elektron zugeführte Energie beträgt W_el = e(U₀+2nU_B)
Aus W_el = W_kin ergibt sich:
v_n = $\sqrt{\frac{2e(U_0+2n{U}_B)}{m}}$= 3,51E7 m/s oder 11,7% von c.

b) Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft, d.h.
m v²/r = e v B
=> r = $\frac{\mathrm{mv}}{\mathrm{eB}}$= 0,399m
Der Radius der Kreisbahnen nimmt stetig zu, da die Geschwindigkeit ansteigt.

c) nach b) folgt: v = r e B /m = 8,79E7 m/s oder 29,3 % von c.

d) nach b) folgt: B = $\frac{m·v}{e·r}$= 0,853 mT

e) Die Elektronen befinden sich auf Kreisbahnen mit konstanter Geschwindigkeit. Daher gilt:
T = s/v = 2πr/v = 2π$\frac{\mathrm{mv}}{\mathrm{eB}}$/v = $\frac{2\mathrm{\pi m}}{\mathrm{eB}}$
T ist also von der Geschwindigkeit unabhängig. Damit ist T für jede Bahn gleich, U_~ kann damit eine konstante Frequenz haben!

f) f = 1/T = $\frac{\mathrm{eB}}{2\mathrm{\pi m}}$= 14 MHz


g) B = $\frac{2\mathrm{\pi m}}{\mathrm{eT}}$
m nimmt aber nahe der Lichtgeschwindigkeit starg zu, es gilt m(v) =$\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Um f und damit auch T konstant zu halten muss die Magnetfeldstärke B in den äußeren Bereichen zunehmen.

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