Lösung: G-0014

Übungen Gravitation

a) Schwerpunktbewegung Aus der Definition des Schwerpunktes ergibt sich: $\frac{m}{M}=\frac{x}{R-x}$ => $\frac{m}{M}\left(R-x\right)=x$=> $\frac{\frac{m}{M}R}{1+\frac{m}{M}}=x=5911\mathrm{km}$ b) Die Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft: mω2r = G mM/r2 => ω = $\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{r^3}}$= 0,045 Hz Aus der Definition der Winkelgeschwindigkeit ergibt sich: T = 2π/ω = 137,6 sec c) Aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz ergibt sich: FA = G 2kg $(\frac{3E31\mathrm{kg}}{{\left(2500\mathrm{km}\right)}^2}-\frac{2E33}{{\left(4E5\mathrm{km}-2500\mathrm{km}\right)}^2})=\mathrm{638.631.459,2}N$ FB = G 2kg $(\frac{3E31\mathrm{kg}}{{\left(2500\mathrm{km}\right)}^2}+\frac{2E33}{{\left(4E5\mathrm{km}+2500\mathrm{km}\right)}^2})=\mathrm{641.966.850}N$ d) Für die Zentripetalkraft gilt: FC= m ω2r = 2kg (0,0457Hz)2(3E4km-5911km) = 100.619,3N FD= m ω2r = 2kg (0,0457Hz)2(3E4km+5911km) = 149.999,5N e) Es gilt das 2. Kepplersche Gesetz $\frac{R^3}{T^2}=\frac{r^3}{t^2}$=> T = $\sqrt{\frac{R^3}{r^3}{t}^2}$= 14.685.617,45 sec = 170d f) Befindet sich das Objekt am Sonnennächsten Punkt in einer Entfernung u, so gilt u = a-x mit a: große Halbachse, x: größte Entfernung von der Sonne. => x = a - u = 8,98 E8 km. g) Aus der Gleichsetzung von Zentripetalkraft und Gravitationskraft folgt: v =$\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{r}}$= 272.384,9 m/s h) Kraftansatz: Auf dem Weg zur Sonne zeigt der Kraftvektor der Gravitationskraft in Richtung Sonne und hat damit einen Anteil in Bahnrichtung. Dadurch beschleunigt das Objekt. Energieansatz: Das Objekt "stürzt" in Richtung Sonne und muss daher potentielle in kinetische Energie umwandeln. Damit steigt die Geschwindigkeit. Keppler: Argumentation über das 2. Gesetz: Die Länge des Fahrstrahls verkürzt sich. Damit L konstant bleibt, muss gelten: L = J ω = mr2 ω = m r v, also muss v steigen.

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