Lösung: G-0003

Satelliten- und Planetenbahnen - LÖSUNG


Aufgabe 1: Mondbahn
a) Es sind zwei Ansätze möglich:
Ansatz 1: Der Mond bewegt sich mit gleichbleibendem Geschwindigkeisbetrag auf seiner Bahn. Daher können wir trotz der Kreisform die Gleichung für eine gleichförmige Bewegung annehmen.
v=s/t = Umfang der Mondbahn/Umlaufzeit= 2 Pi r / T = 2 Pi 3,84E8 m / (27,3*24*3600 s) = 1022.9 m/s

Ansatz 2: Kraftansatz
Die Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft.
F-g = F-z
G m M /r^2 = m v^2 / r
v= Wurzel(GM/r) = 1018,6 m/s

b) Die Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft.
F-g = F-z
G m M /r^2 = m v^2 / r
M = v^2 r / G = 6,024 E24 kg
Ich verwende die Geschwindigkeit aus dem ersten Ansatz aus Aufgabe a), da ich für den zweiten Ansatz bereits M verwendet habe. Dies wäre ein Zirkelschluss.

Aufgabe 2: Satellit
a) Kraftansatz
Die Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft.
F-g = F-z
G m M /r^2 = m v^2 / r
v= Wurzel(GM/r)
Die Geschwindigkeit ist umso höher, je
- größer die zentrale Masse ist.
- je kleiner der Radius und damit die Entfernung von der Oberfläche ist.

b) Ansatz wie in a) mit r = 6.371.000m
v = 7.907,8 m/s

c) Der Satellit ist geostationär, d.h. T = 24h Kraftansatz
Die Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft.
F-g = F-z
G mM/r^2 = m (2 Pi/T)^2 r
r = Kubikwurzel(GM T^2 /(4 Pi^2)) = 42.233.982,2 m
Von diesem Wert muss noch der Erdradius abgezogen werden.
h = 35.862.982,2 m

d) Da nur die Gravitationskraft als Zentripetalkraft wirken soll, sind nur Bahnen möglich, in deren Mittelpunkt der Erdmittelpunkt steht.
Damit sich ein Satellit über einem anderem Breitengrad als über dem Äquator befindet, müsste zusätzlich eine Kraft parallel zur Drehachse der Erde wirken. Da dies ein permanent brennendes Triebwerk erfordern würde ist dies technisch nicht möglich.


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