Lösung A-0053

a) C-14 besteht im Kern aus 6 Protonen (rdnungszahl 6) und muss daher weitere 8 Neutronen im Kern haben.
a) Aufgrund der Ordnungszahl 6 befinden sich 6 Elektronen in der Hülle. Zwei davon sind in der 1-s-Schale enthalten, weitere 4 befinden sich in der zweiten Schale. Wie alle Kohlenstoffatome hat dieses Isotop also 4 Außenelektronen, ist der 4. Hauptgruppe zuzuordnen und ist chemisch gesehen mit allen anderen Kohlenstoffisotopen identisch. Es ist nur schwerer als das übliche Kohlenstoffisotop C-12.

b) Die Summe der Massen der einzelnen Niklide berechnen wir durch Protonenanzahl p, die Neutronenanzahl n und die Massen m_p und m_n derselben.
Es gilt:
m_ges = n m_n + p m_p
= 2,343514751 E-26 kg
Ziehen wir von dieser Masse die tatsächliche Masse des Kerns ab, so erhalten wir den bei der Bildung entstandenen Massendefekt:
Δm = 1,876867395 E-28 kg
Das entspricht einer Energie von:
ΔW = Δm c² = 1,686844291 E-11 J

c) ${}_7{}^{14}N+n\to {}_6{}^{14}C+p$

d) Wir müssen auf beiden Seiten die Massen der Kerne und des Neutrons bzw. Protons addieren. Die Differenz ist dann der Massendefekt.
Es gilt:
Δm = (m_N-14 + m_n) - (m_C-14 + m_p)
= 5,186643504 E-30 kg
Dass ist die Masse von etwa 5-6 Elektronen.
Dies entspricht einer Energie von
W = Δm c² = 4,661522709 E-13 J
Wird diese Energie gleichmäßig aufgeteilt, so erhält jedes Objekt eine Energie von
W_Teilchen=W/3 = 1,553840903 E-13 J

Für das Lichtteilchen gilt dann:
W = h c/λ, also λ= h c / W = 1,278409958 E-12m oder 1,3 pm. Diese Wellenlänge liegt im Röntgenbereich.

Für die MassebehaftetenTeilchen gilt: Die Energie wird in kinetische Energie umgewandelt.
W = 1/2 m v² oder damit:
v = $\sqrt{\frac{2W}{m}}$
v_n = 1,363073891 E7 m/s
v_C-14 = 3,656204615 E6 m/s

e) Wegen dem konstanten Stickstoffanteil und der konstanten Neutronenstrahlung von der Sonne wird auch der Anteil von C-14 in unserer Athmosphäre seit Millionen von Jahren nahezu konstant sein. Da dieser chemisch mit dem "normalen" Kohlenstoff identisch ist, wird er sich mit dem ebenfalls vorhandenen Sauerstoff zu CO₂ verbinden.
Dieses CO₂ wird durch Photosynthese von allen Pflanzen und damit durch die Nahrung auch von allen anderen Lebewesen beständig aufgenommen. Damit enthalten alle Lebewesen einen stets gleichen Anteil an C-14.
Wenn eine Pflanze zu Holz oder Papier weiterverarbeitet wird oder wenn ein Lebewesen abstirbt hört dieser Austausch mit dem CO₂ der Athmosphäre auf. Da C-14 aber radioaktiv ist, fällt sein Anteil am gesamten Kohlenstoffanteil ab. Die Konzentration von C-14 ist somit ein Maß für das Alter des Objektes. Je kleiner der Anteil an C-14 ist, desto älter ist das Objekt.
Störungen kann es geben, wenn das Objekt z.B. kurz nach einem heftigen Sonnensturm abgestorben ist. Dann ist der C-14-Anteil höher als er sein sollte und das Alter wird zu klein bestimmt.
Ein weiterer Aspekt kann die Konzentration von Stickstoff in der Athmosphäre sein. Ist dieser höher als normal, so findet die oben beschriebene Reaktion auch häufiger statt. Dadurch steigt der C-14-Anteil. Auch diese Störung kann zu einem zu kleinen ALter bei der Altersbestimmung führen.
Ein höherer CO₂-Anteil in der Athmosphäre z.B. durch große Waldbrände oder Klimaveränderungen kann zu einem Absinken der C-14-Konzentration führen. Dies hätte zur Folge, dass die Altersbestimmung zu einem zu hohen Wert kommt.

a) ${}_6{}^{14}C\to {}_7{}^{14}N+{}_{-1}{}^0\beta ^{-}$
Für die Massendifferenz müssen wir von der Ausgangsmasse, d.h. dem C-14-Kern, die Masse vom N-14-Kern und dem Beta-Teilchen abziehen.
Δm = m_C-14 - (m_N-14 + m_β)
= 3,12347 E-3 u = 5,186643504 E-30 kg
Dies entspricht einer Energie von:
W = m c² = 4,661522709 E-13 J

b) Bei einer Halbwertzeit von 5730 Jahren und einer Ausgangskonzentration von C₀ = 1.37 E-12 erhalten wir folgende Konzentrationen:
C(t) = C₀ ${\frac{1}{2}}^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$
= 1,37 E-12 ${\frac{1}{2}}^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$
C(20a) = 1,36669 E-12
C(2.000a) = 1,0576 E-12
C(200.000a) = 4,26 E-23
C(200.000.000a) = 0
Die Veränderungen für ein Objekt in der jüngeren Vergangenheit sind sehr klein. D.h. es liegt eine große Messungenauigkeit vor.
Für Objekte aus der Antike ist die Methode gut geeignet, da der Unterschied zur ursprünglichen Konzentration deutlich ist.
Für Objekte aus der Steinzeit ist die Konzentration kaum noch messbar, sie liegt 13 Größenordnungen unter der ursprünglichen Konzentration. Es ist fraglich, ob diese Konzentration noch sinnvoll nachgewiesen werden kann. Noch stärker gilt dies für ein Objekt aus der Zeit der Dinosaurier. Dort ist die Konzantration praktisch Null, d.h. eine Altersbestimmung ist dann nicht mehr sinnvoll möglich.

c) m(t) = m₀ ${\frac{1}{2}}^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$ = 8,35 g

d) N(t) = N₀ ${\frac{1}{2}}^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$
Nach 10.000 Jahren sind noch 596 Atome übrig, d.h es sind 1404 Atome zerfallen.

a) Die Kohlenstoffmenge beträgt
m = m₀*65% = 1,3 mg
b) Darin sind 1,3mg*1,37E-12 = 1,78 E-12 mg = 1,78 E-18 kg C-14-Atome enthalten.
Berechnung der Zeit:
Stellen wir die Zerfallsgleichung mit der Masse nach t um, so erhalten wir:
t = T_1/2 * ln(m(t)/m₀) / ln(0,5) = 3259,5 Jahre
Der Papyrus stammt also etwa aus dem Jahr 1210 v. Chr. und damit aus dem Ägypten des Pharaos Ramses II.