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Auf- und Entladung eines Kondensators

Wie verläuft der Auf- und Entladevorgang am Kondensator?

Aufladung eines Kondensators

Beginnt man einen leeren Kondensator aufzuladen, so ist dies zunächst sehr einfach. Je stärker er aufgeladen wird, desto schwerer wird es aber, die Ladungen aufzubringen, da die schon vorhandenen Ladungen die hinzukommenden abstoßen.

Der Strom fließt also zunächst stark und wird dann immer schwächer. Dies kann durch eine Exponentialgleichung dargestellt werden:
I(t)=I0 e-t/RC mit

  • I0: Startstrom
  • e: Eulersche Zahl 2,71828...
  • R: vorgeschalteter Ohmscher Widerstand
  • C: Kapazität des Kondensators

Die Spannung steigt zunächst durch den starken Strom schnell an, wird dann aber immer flacher und nähert sich schließlich einem Maximalwert an.
Dies kann durch eine Exponentialgleichung dargestellt werden:
U(t)=U0 (1- e-t/RC) mit

  • U0: Startspannung
  • e: Eulersche Zahl 2,71828...
  • R: vorgeschalteter Ohmscher Widerstand
  • C: Kapazität des Kondensators

Bild
Entladung eines Kondensators

Ist der Kondensator voll geladen, so wird auch der Entladestrom stark sein. Je stärker er aber entladen wird, desto schwächer wird auch der Entladestrom sein.

Der Strom fließt also zunächst stark und wird dann immer schwächer. Dies kann durch eine Exponentialgleichung dargestellt werden:
I(t)=I0 e-t/RC mit

  • I0: Startstrom
  • e: Eulersche Zahl 2,71828...
  • R: vorgeschalteter Ohmscher Widerstand
  • C: Kapazität des Kondensators

Die Spannung wird ebenfalls zunächst hoch sein, im Verlauf des Entladens aber immer mehr absinken.
Dies kann durch eine Exponentialgleichung dargestellt werden:
U(t)=U0 e-t/RC mit

  • U0: Startspannung
  • e: Eulersche Zahl 2,71828...
  • R: vorgeschalteter Ohmscher Widerstand
  • C: Kapazität des Kondensators

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Mathematische Anmerkung: Umstellen einer Exponentialgleichung

Um eine Exponentialgleichung umzustellen benötigt man u.U. den Logarithmus. Dies ist insbesondere dann notwendig, enn wir die oben gegebenen Gleichungen nach t, R oder C umstellen müssen.
Wir nutzen folgendes Logarithmengesetz:
ln(ab) = b ln(a) und ln(e) = 1 (für den natürlichen Logarithmus)

Beispiel: Die folgende Gleichung soll nach t umgestellt werden.
U(t)=U0 e-t/RC | /U0
U(t) / U0 = e-t/RC | Wir nehmen auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus.
ln(U(t)/U0) = -t/RC ln(e) = -t/RC | *(-RC) (I)
t = -RC ln(U(t)/U0)
Um nach R oder C umzuformen müsste man entsprechend die Zeile (I) verändern.

Eine besonders wichtige Umformung betrifft die Halbwertzeit, d.h. die Zeit, in der die ursprüngliche Spannung oder der ursprüngliche Strom auf 50% abgesunken ist.
In unserem Beispiel würde das heißen:
U(t)/U0=50%=0,5
Damit können wir ab (I) umformen:
ln(0,5) = -T1/2/RC | *(-RC)
T1/2=-ln(0,5) RC