Definition der Kapazität

Die Ladungsfähigkeit eines Kondensators ist definiert als Ladungsmenge pro Spannung, d.h. wie viel Ladung auf den Kondensator pro anliegendem Volt aufgebracht werden kann. Es gilt also als Grunddefinition:
Kapazität = Ladung pro Spannung oder C = Q/U

Die Kapazität hängt dabei von den geometrischen Abmessungen des Kondensators ab:
C = ε₀ε_rA/d

Vergrößert man die Fläche des Kondensators, so vergrößert man dadurch automatisch seine Ladefähigkeit. D.h. C ~ A
Aus Versuchen wissen wir, dass sich bei feststehender Ladung bei der Vergrößerung des Plattenabstandes auch die Spannung am Kondensator vergrößert. D.h. C ~ 1/d
Aus einer Versuchsvariante wissen wir, dass sich die Kapazität vergrößern lässt, wenn man zwischen die Platten geeignete Materialien einbringt. D.h. C ~ ε_r, wobei ε_r eine Materialkonstante ist.
Zusammenführen dieser Gleichungen und Verwenden von ε₀ als Konstanter liefert die Gleichung.

Wir kennen zwei Definitionen des elektrischen Feldes:
E = Q/ε₀ε_rA und E = U/d
Führen wir beide Gleichungen zusammen und formen nach Q/U um, so erhalten wir:
Q/ε₀A = U/d und damit C = Q/U = ε₀ε_rA/d

Um eine kleine Ladung dq auf die andere Platte zu bringen, muss das elektrische Feld und damit die elektrische Kraft überwunden werden. Es gilt F_el = E dq.
Dafür mus eine Arbeit verrichtet werden, für die gilt:
dW = F s
Da s dem Plattenabstand d entspricht konnen wwir umformen:
dW = E dq d = U/d dq d = U dq. Mit dem Verbringen der Ladung dq auf die andere Seite steigt die Spannung nun um dU = dq/C
Es gilt also dq = C dU
Zusammengefasst gilt nun für die nächste Ladungsportion:
dW = U C dU
Integration führt zu W_C = 1/2 C U²