Das Gravitationspotential

Wie groß ist die im Gravitationsfeld gespeicherte Energie?

Grundlagen: Herleitung des Gravitationspotentials

Die Gravitationskraft st aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz bekannt:
F = G $\frac{mM}{r^{2}}$
Wäre die Kraft in einer Umgebung nahezu konstant (z.B. in der Nähe der Erdoberfläche, wo sich das Gesetz zu F=mg mit g=GM/r² vereinfacht), gilt für die Arbeit, die nötig ist, um sich gegen die Kraft zu bewegen: W = F s (Arbeit=Kraft*Weg). An der Erdoberfläche gilt z.B. W = mgh.

F ist aber von r abhängig. Daher müssen wir die Integralrechnung bemühen:

dW = F dr = G $\frac{mM}{r^{2}}$ dr
oder:
W = $\int F dr$ = $\int G \frac{mM}{r^{2}} dr$ = - G $\frac{mM}{r}$
W ist dabei ein Potential, das sich auf den Erdmittelpunkt bezieht. Für Berechnungen muss man daher immer die Differenz aus Anfangs- und Endpotential bilden, um die benötigte oder gewonnene Energie zu berechnen..

Aufgabe 1) freier Fall aus großer Höhe
Felix Baumgartner sprang am 14.10.2012 aus einer Höhe von 39km aus einer an einem Heliumballon hängenden Kapsel. Bei seinem anschließenden Fall erreichte er eine Geschwindigkeit von 1357,6 km/h. Mit seinem Raumanzug wog er ca. 95kg.
a) Berechnen Sie (ohne Beachtung der Luftreibung) die bei Fall frei gewordenen Energie in einer Höhe von 38km, 35km,30km,20km,10km und am Erdboden. Berechnen Sie daraus die jeweilige Geschwindigkeit.
b) In welcher Höhe hatte er nach dieser Rechnung seine Maximalgeschwindigkeit erreicht?

Aufgabe 2) Energieverbrauch beim Satellitestart
Ein 200kg schwerer Satellit soll auf eine Umlaufbahn in 30.000km Höhe gebracht werden.
a) Berechnen Sie die dafür benötigte Energie.
b) Warum werden Satelliten immer von Orten gestartet, die in der Umgebung des Äquators liegen?

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