Zerfalls- und Schwächungsgesetz
Herleitung aus einer Differentialgleichung
Zerfallsgesetz:
Zur Herleitung müssen wir lediglich zwei einfache Annahmen machen:
- Die Anzahl der Zerfälle ist proportional zur Anzahl der vorhandenen Atome
und zur verstrichenen Zeit. Die Änderung ist wegen der Abnahme der Atomzahl
negativ.
Es gilt: dN~N · dt
- Innerhalb der Halbwertzeit T1/2 halbiert sich die Anzahl der
noch vorhandenen Kerne durch Zerfall.
Es gilt: N(T1/2) = 1/2 N0.
Die Annahme 1 kann man auch folgendermaßen lesen:
- c · N
d.h. gesucht ist eine Funktion N(t), deren Ableitung die Funktion selber
multipliziert mit einem negativen Vorfaktor ergibt.
Dies gilt für alle Exponentialfunktionen mit negativem Exponenten, insbesondere
für die e-Funktion. D.h. es muss gelten:
Der Faktor c ergibt sich aus der Überlegung 2.
Es soll gelten:
N(T1/2) == 1/2 N0 ⇔
⇔
-cT1/2 = ln(1/2)
Umstellen ergibt:
c = =
Damit folgt als endgültige Form des Zerfallsgesetzes:
N(t) = N0
Schwächungsgesetz 1: Absorbtionsgesetz
Zur Herleitung müssen wir lediglich zwei einfache Annahmen machen:
- Die Anzahl der abgefangenen Strahlungsteilchen ist proportional zur
Ursprünglichen Anzahl und zur zurückgelegten Strecke. Die Änderung ist
wegen der Abnahme der Strahlungsteilchen negativ.
Es gilt: dA~A · dx
- Innerhalb der Halbwertdicke d1/2 halbiert sich die Anzahl der
noch vorhandenen Kerne durch Zerfall.
Es gilt: A(d1/2) = 1/2 A0.
Die Annahme 1 kann man auch folgendermaßen lesen:
- c · A
d.h. gesucht ist eine Funktion A(x), deren Ableitung die Funktion selber
multipliziert mit einem negativen Vorfaktor ergibt.
Dies gilt für alle Exponentialfunktionen mit negativem Exponenten, insbesondere
für die e-Funktion. D.h. es muss gelten:
Der Faktor c ergibt sich aus der Überlegung 2.
Es soll gelten:
A(d1/2) == 1/2 A0 ⇔
⇔
-cd1/2 = ln(1/2)
Umstellen ergibt:
c =
Damit folgt als endgültige Form des Schwächungsgesetzes:
A(t) = A0
Schwächungsgesetz 2: Abstandsgesetz
Betrachtet man die Strahlung als ein divergierendes Bündel aus
Lichtstrahlen oder Teilchen, so ergibt sich folgende Überlegung:
Vergrößert man den Abstand von der Quelle, so verteilen sich die
Strahlungsteilchen auf eine immer größere Fläche. Damit nimmt die
Aktivität pro Flächeneinheit ab.
Da die Fläche mit dem Abstand quadratisch wächst gilt insbesondere:
A(r)~1/r2 oder A(r) = A0 1/r2 mit
A0: gemessene Aktivität pro Flächeneinheit im Abstand
1(m). |
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