bohrsches_wasserstoffatom

Das Bohrsche Wasserstoffatom

Schalenmodell

Grundlagen: Elektron als Quantenobjekt
Ein Elektron kann sowohl als Teilchen als auch als Welle beschrieben werden. Aus der Synthese dieser Vorstellungen folgt ein Modell nach Niels Bohr, in dem in einem Atom nur bestimmte Energieniveaus und Radien erlaubt sind. Dies sind für ein Wasserstoffatom:
W_n = 13,6eV 1/n² und
R_n = 52,9pm n²

Innerhalb des Wasserstoffatoms sind nun folgende Übergänge denkbar:

Emission:
Ein Elektron wechselt zu einem tieferen Energieniveau und gibt dabei Energie in Form von Licht ab.

Für die Energie gilt:

ΔW = W₀

(\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{m^{2}})

mit m,n∈ℕ, m>n

Dies entspricht einer Wellenlänge von:

λ = hc/ΔW

Es handelt sich um ein scharf begrenztes Linienspektrum, da andere Wellenlängen nicht erlaubt sind.

Absorbtion:
Ein Elektron wechselt aufgrund einer äußeren Anregung durch ein Photon zu einem höheren freien Energieniveau. Das anregende Licht "verschwindet", da seine Energie vollständig für die Anregung des gebundenen Elektrons genutzt wird.
D.h. diese absorbierten Linien fehlen jetzt im kontinuierlichen Lichtspektrum und treten daher als dunkle Linien auf.
Für die Energie gilt genauso wie bei der Emission:

ΔW = W₀

(\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{m^{2}})

mit m,n∈ℕ, m>n

Dies entspricht einer Wellenlänge von:

λ = hc/ΔW

Es handelt sich um ein scharf begrenztes Linienspektrum aus dunklen Linien, da bei anderen Wellenlängen keine Absorbtion stattfindet, das Photon würde ohne jegliche Wechselwirkung durch das Atom durchfliegen.
Diese dunklen Linien liegen exakt an der gleichen sStelle wie die leuchtenden Linien des Emissionsspektrums.
Anmerkung: An die Absorbtion schließt sich immer eine Emission an, diese kann aber in alle Raumrichtungen gehen. Daher trifft nur ein sehr kleiner Teil des emittierten Lichtes doch beim Beobachter ein. In den dunklen Linien wird man also doch einen - allerdings sehr kleinen - Anteil des wieder emittierten Lichtes beobachten können.

genauere Argumentation:

Wenn ein kontinuierliches Lichtspektrum durch ein Gas geleitet wird, absorbieren die Atome oder Moleküle bestimmte Wellenlängen des Lichts, die den Energiedifferenzen zwischen den Elektronenzuständen im Gas entsprechen. Nach der Absorption wird das Licht mit denselben Wellenlängen wieder emittiert, jedoch isotrop in alle Richtungen, sodass nur ein Bruchteil in die ursprüngliche Richtung weitergeleitet wird.

Mathematische Herleitung

Die Intensität des Lichts nach der Absorption folgt dem Lambert-Beer-Gesetz:

$I (λ) = I_{0} (λ) e^{- α (λ) d}$

wobei $I_{0} (λ)$ die ursprüngliche Intensität, $α (λ)$ der Absorptionskoeffizient und $d$ die Weglänge durch das Gas ist.

Die emittierte Intensität ist proportional zur Anzahl der angeregten Atome:

$I_{em} (λ) = β I_{0} (λ)$

Da die Emission isotrop erfolgt, gelangt nur ein Teil davon in die ursprüngliche Richtung. Die beobachtete Intensität ergibt sich als:

$I_{obs} (λ) = I_{0} (λ) e^{- α (λ) d} + γ I_{em} (λ)$

Hierbei ist $γ < 1$ ein Richtungsfaktor, der die isotrope Emission berücksichtigt. Da $γ I_{em} (λ)$ typischerweise nicht ausreicht, um den Absorptionsverlust auszugleichen, bleibt $I_{obs} (λ)$ kleiner als $I_{0} (λ)$ , wodurch die Absorptionslinien im Spektrum dunkler erscheinen als das umgebende kontinuierliche Licht.

Ionisation:
Nimmt ein Elektron mehr Energie auf als seinem aktuellen Niveau entspricht, so verlässt es das Atom und fliegt mit einer bestimmten kinetischen Energie weiter.
Für diese Energie gilt:

W_kin = W_Anregung - W₀

Oberhalb des Niveaus 0eV sind alle Zustände erlaubt, da das Elektron das Atom verlassen hat. Daher wird licht jeder Wellenlänge Absorbiert, sobald es eine Ionisation durchführen kann.